大学物理学课件-量子力学基础.pptxVIP

微观粒子具有波粒二象性，物质波不代表实在的物理量的波动，是概率波。 为定量描述微观粒子的状态，量子力学引入波函数（即概率波的数学函数式），用表示，一般是时空的复函数： 一、波函数 玻恩假定：波函数模的平方是粒子的概率密度，即： 代表t时刻，粒子出现在空间r点处单位体积元中的概率。 1、波函数的标准条件 则在体积V内出现的概率 体积dV内粒子出现的概率 波函数的标准条件是：单值，有限，连续，归一化 统计诠释要求，作为可以接受的波函数应满足： 自然条件： 单值、有限和连续； 归一化条件： 2、波函数的统计解释 3、波函数的叠加原理 波函数的叠加原理是：波函数可线性叠加 电子束的双缝干涉 　 若1和2是描述粒子可能状态的波函数，那么这两个函数的线性叠加 ＝C11+C22 也是一个波函数，它所描述的状态是该粒子的另一个可能的状态。 二、薛定谔方程 1926年奥地利的物理学家薛定谔在德布罗意波假说的基础上建立了势场中微观粒子的微分方程。 薛定谔认为： （1）微观粒子的运动状态用波函数(x,y,z,t)描述，这个波函数应该是适用于微观粒子的波动方程的一个解。 （2）必须能满足德布罗意波公式的要求。 （3）必须是线性微分方程，即其方程的解必须能满足叠加原理(因为物质波能够干涉)。 薛定谔1933年获诺贝尔奖 （2）势能函数 （1）拉普拉斯算符 1、一般的薛定谔方程（在非相对论的） （3）引入哈密顿量算符 空间函数 = 时间函数 若要相等，两边应该均为与时间与空间无关的常数，设常数为Ｅ（即粒子的总能量，又称为能量本征值）。 ２、定态的薛定谔方程 如果微观粒子受到的作用势能不随时间变化，则可把波函数分离变量，写为： 为定态波函数。代入薛定谔方程，得： 等式右边： 一维定态薛定谔方程 微观粒子在外势场中作一维运动，这时该方程为 等式左边： 定态薛定谔方程： 3、薛定谔方程的讨论 　 薛定谔方程在量子力学中的地位与牛顿方程在经典物理中的地位相当。 薛定谔方程不是实验规律的总结，而是量子力学的一个基本假定，由实验验证。 薛定谔方程的局限：非相对论；狄拉克：相对论形式。 薛定谔方程揭示了微观粒子的运动规律。 例 将波函数在空间各点的振幅同时增大D倍,则粒子在空间的分布概率将 (A)增大Ｄ２倍 (B)增大2D倍 (C)增大D倍 (D)不变 解：选D，因为整个场中各点波振幅同时增大D倍，对于概率分布无影响。 1、一维定态薛定谔方程 阱内：(0＜x＜a) 阱外：(x0 or xa) 势函数：无限深势阱 一、一维无限深势阱 定态薛定谔方程为： 标准化条件：波函数连续可得边值条件 令 其通解可写为： 再加上边值条件 由（2）式得B=0； 由（3）式得Asinka=0，因此： 波函数为： 归一化条件： 一维无限深方势阱中粒子的定态波函数为： 2、方程解的讨论 1）处在势阱中的微观粒子，其德布罗意波只能是驻波。 要稳定，必为驻波，波长须满足 概率密度 ２）概率密度分布规律 概 率 密 度 波 函 数 3）能量本征值的讨论 能量量子化：能量取特定的分立值（能级），整数n叫主量子数。 零点能不为零是微观粒子波动性的必然结果。 自然地得出能量的量子化条件,而无须象普朗克与玻尔那样人为地假定。 最低能量（零点能）： 最低能量（零点能）只能为： 粒子去哪儿了？ 能级间距 能级间距与粒子质量和阱宽的平方成反比。 若微观粒子被限制在原子尺度内运动，能量的量子化是很显著的，因此必须考虑量子性： 如果是微观粒子若其在自由空间运动（相当于阱宽无穷大），其能级间距就非常小，就可认为能量的变化是连续的； 　 如果是宏观粒子，在宏观尺度来讲完全可以忽略其差异而认为能量的变化是连续的。 3）玻尔对应原理：量子化  连续 　 如果是宏观粒子，在较小尺度的空间里，也可以忽略其差异而认为能量的变化是连续的； 能量足够高时，粒子的概率密度在势阱趋于一致，退化为经典图像。 例 一粒子被限制在相距为l 的两个不可穿透的壁之间，如图所示，描写粒子状态的波函数为=cx(l-x) 其中c为待定常量，求在区间（0~l/3）发现该粒子的概率。 解：先由波函数的归一化条件来确定c 由此解得 则在区间（0~l/3）内发现该粒子的概率为 一、氢原子的薛定谔方程 氢原子中电子的势能函数 由于U只是r的函数，不随时间变化，故也是一个定态问题，故其薛定谔方程为： 由于势能函数只是r的函数，且具有球形对称，故改写为球坐标形式的薛定谔方程： 由于是定态问题(是驻波），对波函数进行变