机械类高等数学电子教案01第一章绪论-精选文档.ppt

机械类高等数学电子教案—— 绪论 第一章 绪 论第一节 高等数学的作用和意义第二节 如何学好高等数学 机械类高等数学电子教案——绪论 第一章 绪 论高等数学是高职高专机电类专业必修的一门非常重要的基础课，主要包括一元函数微积分学、多元函数微积分学、 微分方程、空间解析几何、级数、数学软件包Matlab等内 容.其核心内容是微积分.本章主要对微积分的产生与发展，微积分的研究对象与方法，如何学好高等数学等作简要的介绍. 机械类高等数学电子教案 — — 绪论 第一节 高等数学的作用和意义“紧接着函数概念的采用，产生了微积分，它是继Eu clid几何之后，全部数学中的一个最伟大的创造. ”(《古 今数学思想》第二册P17)一 、高等数学的发展过 程1. 古代微积分思想溯源微积分的思想方法，可以追溯到古代.我国古代《庄子》第33篇天下篇中就包含很多数学道理，在学术上很有 价值.例如：“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一. ” “大一 ”相当于我们的无穷大，“小一 ”就相当于无穷小.整 句话的意思可以翻译为：至大就是没有边界的，这叫无穷大；至小是没有内部的，这叫无穷小. 机械类高等数学电子教案——绪论 又如在讲数列时经常被引用的，人们所熟悉的“一尺之棰，日取其半，万世不竭的数列极限思想.意思就是： 一 尺长的棍子，第一天取去一半，第二天取去剩下的一半，以 后每天都取去剩下的一半，这样永远也取不尽.用数列的语 言来描述，就是：对于数列1 1 1 22223当n→o 时，尽管 ,但总有再如，刘微的“割圆术”,用圆内接多边形的面积去逼近圆面积，也是极限思想的萌芽.这与古希腊诡辩学派的成 员安提丰提出的穷竭法是一样的意思，他认为，对圆求 积问题，先作圆内接正方形，然后边数成倍增加，得内接正 机械类高等数学电子教案—— 绪论 八边形、正十六边形、正三十二边形 …….他深信这样继续下去最后的正多边形必与圆周相合.也就是多边形与圆的“差”必会“穷竭”,于是便可以化圆为方了.安提丰的结论虽然是错误的，但提出了一种求圆面积的近似方法.希腊诡辩学派哲学家芝诺提出的最著名的悖论追兔说.他说，阿基里斯(希腊神话中跑如飞的英雄)追乌龟， 永远追不上. 比方说，阿基里斯的速度是龟的10倍，龟在 前面100米，当阿基里斯跑了100米到达龟的出发点时，龟 已经前进了10米；阿基里斯再追10米，龟又前进了1米； 阿基里斯再追1米，龟又前进了1/10米，这样永远相隔一 小段距离，所以总也追不上.芝诺并不是真的认为阿氏追不 上龟，问题是他和当时的很多学者都不知道何时才能追上龟. (作为思考题，请大家思考一下此问题，即兔子何时追上龟) 机械类高等数学电子教案 — — 绪论 微积分问题至少被十七世纪十几位最大的数学家和几十位小一些的数学家探索过.位于他们全部贡献的顶峰是牛顿和莱布尼茨的成就.2. 微积分的形成与发展恩格斯曾讲过：“微积分是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发明的.从距离(作为时间的函数)求瞬时速度的问题以及它的逆问题提出后，不久就被看出是计算一个变量对另一个变量 的变化率的问题以及它的逆问题，较为典型的问题是求曲线 的切线问题和求变速直线运动物体的瞬时速度等问题.下面我们从两位大师的研究工作来体会一下微积分的产生与发展. 机械类高等数学电子教案 — — 绪论 牛顿 (Newton) 的工作数学和科学的巨大进展，几乎总是建立在几百年中作出一点一滴贡献的许多人的工作之上的.需要有一个人来走那 最高和最后一步，在微积分中，这个人就是牛顿.1669 年，牛顿在《运用无穷多项方程的分析学》 一书中利用“瞬”(用0表示),即现在的无穷小的思想，不仅给 出了求一个变量对于另一个变量的瞬时变化率的普遍方法， 而且证明了面积可以由求变化率的逆过程得到.这就是我们后面要讲的微积分基本定理.1671年，他在《流数法和无穷级数》 一书中更用“流”(即变量)与“流数”(