机械工程控制基础-系统数学模型.ppt

章系统数学模型一、数学模型的基本概念1、数学模型数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系 统结构及其参数与其性能之间的内在关系。静态数学模型：静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。1 2、 建立数学模型的方法解 析 法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 实验法人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方 法也称为系统辨识。数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。2 3、 数学模型的形式时间域：微分方程(一 阶微分方程组)差分方程、状态方程复数域：传递函数、结构图频率域：频率特性二、 系统的微分方程1 、定义： 时域中描述系统动态特性的数学模型。2、 建立数学模型的一般步骤分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量；3 从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、 部件的动态微分方程；消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程；标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列a,x((t)+a,-x(- 1)(t)+ …+ax 。(t)+ax,(t)=b …x;(t)+bm-x;-(t)+ …+b,x;(t)+bx;(t)3、 控制系统微分方程的列写机 械 系 统机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：4 √ 弹 簧→ (t)V?(t)fx(t) K√ 质量 →x(t)v(t)fm(t)md t=c→x?(t) →V?()参考点fx(t)形d5 √ 阻尼6 静止(平衡)工作点作为零点，以消除重力的影响机械平移系统及其力学模型□机械平移系统fm(t)0m0fk(t) fc(t)x。(t)x。(t)f(t)f(t)KCm7 式中， m、C、K 通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件(惯性质量、弹簧)的数量。8 fの⑦ 状 ⑦K 于 ⑦系统运动方程为一阶常系数微分方程。 0人 C弹簧-阻尼系统 x。(t)□ 弹簧一阻尼系统 f(t)工上9 □ 机械旋转系统0K齿轮J— 旋转体转动惯量； K— 扭转刚度系数； C— 粘性阻尼系数10 11 · 若电路有分支，它就有节点，则汇聚到某节点的所有电流 的代数和应等于零。· 电网络的闭合回路中电势的 代数和等于沿回路的电压降 的代数和。基尔霍夫电压定律基尔霍夫电流定律s=s2i(t)=012 电气系统电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。√ 电容√ 电阻z①=RT13 √ 电 感i(t) Lu(t)□ R-L-C 无源电路网络R-L-C 无源电路网络14 一般R、L、C 均为常数，上式为二阶常系数微分方程。若L=0, 则系统简化为：15 □ 有源电网络即：16 例：列写下图所示机械系统的微分方程解：1)明确系统的输入与输出输入为f(t),输出为x(t)2)列写微分方程，受力分析mx+cx+kxf3)整理可得：f-kxcx=rmx17 例：列写下图所示电网络的微分方程解：1)系统的输入与输出输入为u, 输出为u?2)列写原始微分方程3)消除中间变量，并整理： 小结√物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普 遍意义的分析研究(信息方法) 。√ 从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似 系统是控制理论中进行实验模拟的基础；√通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元(惯性质量、弹性要素、 电感、电容、液感、液容等)的个数；因为系统每增 加一个独立储能元，其内部就多一层能量(信息)的 交换。 19 √ 系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数。线性系统与非线性系统□ 线性系统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t 的函数，则为线性时变系统；线性是指系统满足叠加原理，即：√ 可加性： 下√ 齐次性： / ax=aG或：20 X 系统 叠加 C 1 系统 αx。 1± 。2X;2 系统 2