六年级--举一反三--C版--定义新运算.doc

第一讲 定义新运算 知识点精讲 定义新运算是指运用某种特殊的符号来表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的一种解法。解答定义新运算的题，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。新定义的算式中有括号的要先算括号里面的。但在它没有转化前是不适用各种运算定律的。 典型例题讲解及思维拓展 例1、a※b=（a＋b）+（a-b），求10※4和12※（3※2）。 【思路导航】这题的新运算被定义为：a※b等于a与b两数之和加上两数之差。这里的“※”就代表了一种新的运算。在定义的新运算中同样也规定了有括号要先算括号里的。因此在12※（3※2）中，就要先算小括号里的（3※2）。 10※4=（10+4）+（10-4）=14+6=20 3※2 =（3+2）+（3-2）=5+1=6 12※（3※2）=12※6 =(12+6)+(12-6) =18+6=24 思维拓展1： 1．设a※b=（a+b）×a，求12※3。 2. 设a※b=2a+b2，求3※2和5※3※4。 例2、设p、q是两个数，规定：p◎q=pq-(p+q)÷2,求5◎（4◎6）。 【思路导航】根据定义先算括号里的4◎6。 5◎（4◎6）=5◎〔4×6-（4+6）÷2〕 =5◎19 =5×19-（5+19）÷2 =83 思维拓展2： 1. 设p、q是两个数，规定p◎q=pq-(p+q) ÷2,求6◎（4◎8）。 2. 设p、q是两个数，规定p◎q=q2-(p-q) ×2,求10◎（5◎3）。 例3、如果1△3=1+11+111,3△5=3+33+333+3333+33333,9△4=9+99+999+ 9999，那么8△2=__________；4△6=_________。 【思路导航】经过观察发现本题的新运算“△”被定义为a△b=a+aa+aaa +…+aa…a(b个a)。 因此8△2=8+88=96 4△6=4+44+444+4444+44444+444444=493824。 思维拓展3： 1. 如果1△3=1+11+111，3△5=3+33+333+3333+33333,9△4=9+99+999+9999 ，那么7△3=_______________。 2.规定a△b=a+aa+aaa+…+aa…a（b-2个a）,那么8△6=______________。 例4、定义新运算“⊙”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数和最小公倍数的和记为a⊙b，那么4⊙6=__________________。 【思路导航】根据新运算“⊙”的定义，先求出4和6的最大公约数和最小公倍数，再求出最大公约数和最小公倍数的和。 4⊙6=（4,6）+〔4,6〕=2+12=14 思维拓展4： 1. 定义新运算“⊙”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数和最小公倍数的和记为a⊙b，那么18⊙12=___________________。 2.如果用φ（a）表示a的所有约数的个数，例如φ（4）=3，那么φ（φ（18））=_________________。 例5、定义新运算“△”如下：对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差记为a△b，如：10△14=70—2=68，那么12△21=__________。 【思路导航】根据△的定义，先分别求出12和21的最小公倍数和最大公约数，再求出它们的差。 12△21=84—3=81 思维拓展5： 1. 定义新运算“△”如下：对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差记为a△b，那么24△36=__________________。 2.把64=2×2×2×2×2×2表示成f(64)=6,把243=3×3×3×3×3表示成g（243）=5，那么f（16）=g__________。 例6、如果规定符号“↑（a,b）”表示两个数的和除以两个数的差，例如↑（4,2）= eq \f(4+2,4-2) =3,规定符号“↓（a,b）”表示两个数的差除以两个数的和，例如↓（4,2）= eq \f(4-2,4+2) = eq \f(1,3) ，那么↑〔2，↓（8,4）〕=_____________。 【思路导航】根据定义，先求↓（8,4）= eq \f(8-4,8+4) = eq \f(1,3) ↑〔2，↓（8,4）〕=↑〔2， eq \f(1,3) 〕=(2+ eq \f(1,3) )÷(2- eq \f(1,3) )= eq \f(7,5) 思维拓展6： 1. 如果规定符号“↑（a,b）”