- 1、本文档共8页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多
PAGE 3
云 南 大 学
数学分析习作课(3)读书报告
题 目: 拉贝判别法及其推广应用
学 院: 数学与统计学院
专 业: 数学与应用数学
姓名、学号:
任课教师: 杨汉春
时 间: 2013-2014秋季第十六周
摘 要:对于通项收敛比较慢的正项无穷级数,常用于判断级数敛散性的达朗贝尔判别法和柯西判别法就无能为力了。拉贝判别法的判别范围要更广泛些。对于级数求和也是一个比较复杂的问题,通用的求和方法比较少,这里将举例说明拉贝判别法的推广研究能给出一种通用的正项收敛级数和的估值计算方法。
关键词:无穷级数;拉贝判别法;求和;
一、引言:
达朗贝尔判别法和柯西判别法是判断正项无穷级数敛散性的基本的常用方法,这两个方法是基于把所要判断的级数某一等比级数相比较的想法而得到的。也就是说,只有那些级数的通项趋于零的速度比某一等比级数收敛速度快的级数,这两方法才能鉴定出它的收敛性,如果级数的通项收敛速度较慢,它们就无能为力了。拉贝判别法的判别范围要更广泛些。对于级数求和或和的估值是一个比较复杂的问题,通用的求和方法比较少,拉贝判别法的推广给出一种用该法判定收敛级数满足要求的和的估值的计算方法。
拉贝判别法及其研究
为了便于叙述,首先给出以下引理:
引理1 (i)级数当时,发散;当时,收敛.
(ii)级数当时,发散;当时,收敛.
(iii)级数当时,发散;当时,收敛.
引理2 (i);
(ii).
引理3 设,为正项级数,且存在正数,使得当时,成立,
则有
(i)若收敛,则也收敛;
(ii)若发散,则也发散.
由上述的引理可以得到以下的定理1
定理1 设为正项级数,满足,
且,则有
(i)若,,则收敛;
(ii)若,,则发散.
证 由条件知,当时,有,且.
若令,则
,
于是
, (1)
故(i)若,取,则由(1)知,对充分大的,有
,
由引理1(i)及引理3知,收敛.
(ii)若,取,则由(1)知,对充分大的,有
,
由引理1(i)及引理3知,发散
利用定理1,可证明拉贝判别法及其极限形式的等价形式
定理A(拉贝判别法) 设为正项级数,且存在某自然数及常数
(i)若对一切,成立不等式。则级数收敛;
(ii)若对一切,成立不等式。则级数发散.
证 (i)令,则由已知条件知,且
.
令,,则有
,,
故由定理1的结论知,级数收敛.
(ii)将条件中的分为和两部分来证明
(a)若对一切 ,成立等式,则
,
故形如(,其中为任意正数).由引理1(i)及引理3知,发散.
(b)若对一切 ,成立等式,则必存在某常数,
使得 .令,则,且
.
令,,则有
,,
故由定理1的结论知,此时也发散.
定理B(拉贝判别法的极限形式的等价形式) 设为正项级数,且极限存在,则
(i)当时,级数收敛;
(ii)当时,级数发散.
证 注意到当时,,故
,
即结论成立.
注1 由上述证明可知,定理1是拉贝判别法的推广.
文档评论(0)