东南大学几代实验报告_3.doc

14-15-2《几何与代数》 数学实验报告 学号： 姓名： 得分： . 要求：报告中应包含实验中你所输入的所有命令及运算结果，用纸打印．并在第15周之前交给任课老师。 实验一：利用MATLAB用三种不同的方法求解线性方程组。其中，常数项列向量的分量是你的学号，系数矩阵为 方法一：利用Cramer法则求解； 方法二：作为矩阵方程求解； 方法三：利用Gauss消元法求解。 a1=[1;1;0;0;0;0;0;0];a2=[1;2;1;0;0;0;0;0]; a3=[0;1;3;1;0;0;0;0];a4=[0;0;1;4;1;0;0;0]; a5=[0;0;0;1;5;1;0;0];a6=[0;0;0;0;1;6;1;0]; a7=[0;0;0;0;0;1;7;1];a8=[0;0;0;0;0;0;1;8]; A=[a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8]; b=[学号]; D=det(A); x=[]; for i=1:8 A=[a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8]; A(:,i)=b;x=[x;det(A)/D]; i=i+1; end format rat,x x = -1663/396 1663/396 -944/787 393/985 883/1463 543/931 -239/2320 265/1922 A=[a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8];b=[0;3;1;1;4;4;0;1];format rat,x=A\b x = -1663/396 1663/396 -944/787 393/985 883/1463 543/931 -239/2320 265/1922 A=[a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8];b=[学号];B=[A,b];format rat c=rref(B); x=c(:,9) x = -1663/396 1663/396 -475/396 79/198 102/169 543/931 -17/165 87/631 实验二：“eigshow”是Matlab中平面线性变换的演示函数。对于矩阵，键入eigshow（），分别显示不同的单位向量及经变换后的向量。用鼠标拖动旋转，可以使产生一个单位圆，并显示所产生的轨迹。 分别对矩阵，考察单位向量变化时，变换后所得向量的轨迹，回答下列问题，并用代数方法解释。（1）问：和会不会在同一直线上？如果和在同一直线上，它们的长度之比是多少？（2）对哪些矩阵，和的轨迹有公共交点？（3）对哪些矩阵，和的转向相同，哪些相反？（4）你还发现什么有什么规律？（5）你能用代数知识解释这些现象吗？ (1) A=[2,0;0,3]; B=[1/2,0;0,1/3]; C=[1,2;2,1]; D=[3,1;2,3]; M=[3,-1;2,3]; eigshow(A) eigshow(B) eigshow(C) eigshow(D) eigshow(M) eig(A) ans = 2 3 eig(B) ans = 0.3333 0.5000 eig(C) ans = -1 3 eig(D) ans = 4.4142 1.5858 eig(M) ans = 3.0000 + 1.4142i - 1.4142i 答： （1）对于矩阵ABCD会在同一条直线上。 对应长度比为A2：3，B1/2：1/3，C3：1，D：4.4142：1.5858 （2）对于C矩阵，和的轨迹有公共交点。 （3）对矩阵A、B、D、M，旋转方向相同； 对矩阵C，旋转方向相反。 （4）eigshow函数只适用于二阶矩阵； 当变换矩阵的行列式值大于零时，y的旋转方向与x一致，小于零则相反。 (5) 设x=(m;n) 变换矩阵A=(a,b;c,d) 其中m、n平方和为1 则 y=(am+bn;cm+dn) 在m、n平方和为1的条件下对m、n进行改变即x旋转形成单位圆， 而在a、b、c、d属于对应各类情况时，y进行各类变换。