《數理精藴》之勾股形及十八邊形方程題.docx

(PAGE 1) 《數理精藴》之勾股形及十八邊形方程題 上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112 何世強 Ho Sai Keung 提要：本文主要談及立方體或長方體之體積和或差，亦涉及其邊長之計算。本文經典之題為以十萬為一率，作相連比例四率，使一率與四率相加，與二率三倍等，求二率、三率與四率，此題涉及正十八邊形一邊之計算，亦較深奧。 關鍵詞：正十八邊形 本文數學題取材自《御製數理精藴?下編?卷三十六?末部六》﹝簡稱為《數理精藴》﹞分題為“借根方比例體類”之“體類”。 “借根方比例?體類”其實是涉及正立方或長方體體積之方程式，但大部分問題均屬淺易，容易明白。《數理精藴》每題均列出算法圖，但大部分均欠完整步驟，宜參閱筆者之列式。 《數理精藴》已有兩項式之高次方展式，本文涉及以下之展式： (x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3 之式及 (x – a)3 = x3 – 3x2a + 3xa2 – a3。 本文經典之題為以十萬為一率，作相連比例四率，使一率與四率相加，與二率三倍等，求二率、三率與四率，此題涉及正十八邊形及一元三次方程式x3 – 3x + 1 = 0 之解，亦較深奧。 本文不詳述帶縱開平方法。 筆者已有文名為〈《衘製數理精藴》之含面積方程式〉及〈《數理精藴》之體積長闊高成連比例方程題〉，本文乃上文之延續。〈第一題〉至〈第二十題〉見另文。 〈第二十一題〉 設如有大、小二正方體，大方邊比小方邊多四尺，大方積比小方積多一千二百一十六尺。問：二正方體邊數、體積各幾何？ 解： 以上之體積單位應為立方尺。今設 x 為小正方體之邊長，大方邊長為 x + 4，依題意可列出以下方程式﹝單位略去﹞： (x + 4)3 = x3 + 1216 x3 + 12x2 + 48x + 64 = x3 + 1216 12x2 + 48x + 64 = 1216 12x2 + 48x = 1152 x2 + 4x = 96 x2 + 4x – 96 = 0 分解因式得 (x – 8)(x + 12) = 0 取 x = 8。 即小正方體邊長為8尺，大方邊長為 x + 4 = 8 + 4 = 12﹝尺﹞，小正立方體體積為512立方尺，大正立方體體積為1728立方尺。 以下為《數理精藴》之算式圖： 以下為上圖所表示之式： 小積 x3 大積 x3 + 12x2 + 48x + 64 12x2 + 48x + 64 = 1216 12x2 + 48x = 1152 x2 + 4x = 96 x = 8 以下為《數理精藴》之算法： 法：借一根 (x) 為小方毎邊之數，則大方毎邊之數為一根多四尺 (x + 4)。以一根自乘再乘得一立方為小方之體積 (x3)，以一根多四尺自乘再乘得一立方多十二平方多四十八根多六十四尺 (x3 + 12x2 + 48x + 64) 為大方之體積。 兩體積相減得十二平方多四十八根多六十四尺與一千二百一十六尺相等 (12x2 + 48x + 64 = 1216)，兩邊各減六十四尺得十二平方多四十八根與一千一百五十二尺相等 (12x2 + 48x = 1152)，十二平方多四十八根旣與一千一百五十二尺相等，則一平方多四根必與九十六尺相等 (x2 + 4x = 96)。 乃以九十六尺為長方積，以四根作四尺為長闊較，用帶縱較數開平方法算之得闊八尺為一根之數 (x = 8)，卽小方每邊之數，加四尺得一十二尺 (8 + 4 = 12)，卽大方毎邊之數。 以八尺自乘再乘得五百一十二尺 (83 = 512) ，卽小方之體積，以一十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺 (123 = 1728)，卽大方之體積，兩體積相減餘一千二百一十六尺 (1728 – 512 = 1216)，以合原數也﹝此二正方體有邊較積較求邊法﹞。 〈第二十二題〉 設如有大、小二正方體，大方邊比小方邊多二尺，體積共一千零七十二尺。問：二正方體邊數、體積各幾何？ 解： 今設 x 為小正立方體之一邊長，大立方邊長為 x + 2，依題意可列出以下方程式﹝單位略去﹞： (x + 2)3 + x3 = 1072 x3 + 6x2 + 12x + 8 + x3 = 1072 2x3 + 6x2 + 12x = 1064 x3 + 3x2 + 6x = 532 x3 + 3x2 + 6x – 532 = 0 分解因式得 (x – 7)(x2 + 10x + 76) = 0 取 x = 7。 即小正方體邊長為7尺，大方邊長為 x + 2 = 7 + 2 = 9﹝尺﹞，小正立方體體積為343立方尺，大正立方體體積為729立方尺。 以下為《數理精藴》之算式圖： 以下為上圖所表示之式： 小積 x3 大積 x3 + 6x2 + 12x