湖南长沙长郡中学2015年初三数学竞赛试题(含答案).docx

2015 年湖南长沙长郡中学初三数学竞赛试题 2015 年 5 月 24 日 (考试时量：60 分钟 满分：100 分) 一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题 5 分，共 30 分） ?x ? 8 ? 4x ?1 ?话 １、若不等式组? ? 电 ?x m 系 的解集是 x3，则 m 的取值范围是 ( ) 联 A. m3 B．m≥3 C．m≤3 D．m3 2x 2、用去分母方法解分式方程 ? m ? 1 x ? 1 ? ，产生增根，则 m 的值为（ ） x ? 1 x 2 ? x x 别 A.–1 或–2 B. 1 或–2 C.1 或 2 D. –1 或 2 性 5a ? 3 ? 1 b ? 1 c ? 4 ? 1 5 3、 已知 ( ) 3 ， 5 ( ) 2 ， 3 ) 2 ，则 a,b,c 三个数的大小关系是 A． c ? b ? a B. c ? a ? b C. a ? b ? c D. b ? a ? c 名 4、点 P 是直线 x ? y ? 4 ? 0 上一动点，O 为原点，则|OP|的最小值为( ) 姓 A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4 5、已知梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC、BD 交于 O，△AOD 的面积为 4，△BOC 的面积为 9， 则梯形 ABCD 的面积为（ ） （A）25 （B）24 （C）22 （D）26 6、矩形纸片ABCD 中，AB=3cm，BC=4cm，现将纸片折叠压平，使A 与 C 重合，设折痕为EF，则重叠部分△AEF 的面积等于（ ）． 73 （A） 8 75 8 73 16 75 16 校 二.填空题：(每题 6 分，共 36 分) 学 1 1 7、已知 x ? 8、方程 x ? ? 4,则x ? ? x x 4 ? 3 x 的解为 x x 9、在△ABC 中，AB＝10，AC＝26，BC＝10，设能完全覆盖△ABC 的圆的半径为 R． 则 R 的最小值是 ． 10、若?、 ? 是方程 x 2 ? 3x ? 5 ? 0 的两个实数根，则? 2  ? 2? 2  ? 3? 的值= 11、分解因式：（x 2 ? 3x ? 3)(x 2 ? 3x ? 4) ? 8 = 12、已知 x 为实数，则分式 3x 2 ? 6x ? 5 1  的最小值为 x 2 ? x ? 1 2 三、解答题（本大题共 3 题，13 题 10 分，14,15 每题 12 分，共 34 分） 13、如图：已知△ABC，E 为 AB 的中点，D 为 AE 的中点,且 AE=AC, 求证：BC=2CD A D E C B 15、如图：抛物线经过 A（－3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点. 求抛物线的解析式. 已知 AD = AB（D 在线段 AC 上），有一动点 P 从点 A 出发，沿线段 AC 以每秒 1 个单位长度的速度移动；同时另一个动点 Q 以某一速度从点 B 沿线段 BC 移动，经过 t 秒的移动，线段 PQ 被 BD 垂直平分，求 t 的值； 在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使 MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由。 （注：抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的对称轴为 x ? ? b 2a ） 第 1５题图 参考答案及评分标准： 一．选择题：（每题 5 分，共 32 分） 1－6：CBB，CAD 二．填空题：（每题 4 分，共 32 分） 7. ± 2 3 8. x=4（多一个答案－1 的算错） 9. 13 10. 24 11. (x ? 1)(x ? 4)(x 2 ? 3x ? 5) 12. 4 A D 三、解答题：（每题 12 分，共 36 分） E F13、证明：设 BC 的中点为 F,连接 EF,易知：AC=2EF=AE=2DE C B F 则 EF=DE,又 EF∥AC,则∠FEC=∠ACE=∠AEC,又 EC=EC 则△EDC≌△EFC(SAS),则 FC=DC= 1 BC ,即 BC=2CD 2 14、（1）购进 C 种玩具套数为：50－x－y （2 分） （2）由题意得40x ? 55 y ? 50(50 ? x ? y) ? 2350 整理得 y ? 2x ? 30 ……（5 分） （3） ① p ? (50 ? 40) x ? (80 ? 55) y ? (65 ? 50)(50 ? x ? y) ? 200 整理得： p ? 15x ? 250 ……7 分 ② 购进 C 种电动玩具的套数为：50 ? x ? y ? 50 ? x ? (2 x ? 30) ? 80 ? 3x ?x ? 10 ?据题意列不等式组?2x ? 30 ? 10 ，解得2