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第四章 微分中值定理和 导数的应用 1 第一节 微分中值定理 微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange) 中值定理， 费马定理是它的预备定理， 罗尔定理 是它的特例， 柯西定理是它的推广。 1. 预备定理——费马(Fermat)定理 费马(Fermat ，1601-1665)，法 国人，与笛卡尔共同创立解析几何。 因提出费马大、小定理而著名于世。 几何解释: 曲线在最高点或最 低点如果有切线，则切 线必然是水平的。 1. 预备定理——费马(Fermat)定理 3 极限 的保 号性 证明: 4 2. 罗尔(Rolle)定理 如果函数y=f(x)满足条件： (1)在闭区间[a, b]上 连续， (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导， (3) f ( a ) = f ( b ) 少存在一点x (a, b)，使得f,(x) = 0。 几何解释: 如果连续光滑的曲 线y=f(x) 在端点A 、 B 处的纵坐标相等。 那么，在曲线弧上至 少有一点 C(x,f(x))， 曲线在 C点的切线是 水平的。 C y=f(x) O a x b x A B y 5 证 所以最大值和最小值不可能同时在端点取得。 由费马引理, 6 注意： 如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结 论就可能不成立。 A a B O b x y A O c b x y A B a b f(x)不满足条件(1) f(x)不满足条件(2) f(x)不满足条件(3) O x B y a 7 验证 例1 8 例2 不求导数，判断函数f(x)= (x- 1)(x-2)(x-3)的导 数有几个零点，以及其所在范围。 解 f(1)=f(2)=f(3)=0，f(x)在[1, 2] ，[2, 3]上满足罗尔 定理的三个条件。 在 (1, 2) 内至少存在一点 x1 ，使f (x1)=0，x1是f (x) 的一个零点。 在(2, 3)内至少存在一点 x2 ，使f (x2)=0 ，x2 也是f (x) 的一个零点。 f (x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间 (1, 2)及(2, 3)内。 思考： f (x)的零点呢？ 9 结论得证 证 10 . 例4 证 11 证 12 y n C2 O 开区间(a, b)内可导，则至少存在一点x (a, b)内，使得 如果函数f(x)满足： (1)在闭区间[a, b]上连续， (2)在 A a x y=f (x) B 几何意义： C1 b x 13 证明 作辅助函数 14 例6 15 或 特别地, 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 拉格朗日中值公式另外的表达方式： 或 16 推论1 证明 17 即得结论。 推论2 证明 18 由推论1知, 例7 证 19 利用拉格朗日定理证明不等式 例8 证 20 例9 证 由上式得 21 例10 证 推论 类似可证： 22 4. 柯西(Cauchy)中值定理 设函数f(x)及g(x)满足条件： (1)在闭区间[a, b]上连续， (2)在开区间(a, b)内可导， (3)在(a, b)内任何一点处g (x)均不为零， 则至少存在一点x (a ，b)内，使得 说明：如果取g(x)=x，那么柯西中值定理就变成了拉 格朗日中值定理. 证略. 23 练习： P148 习题四 24