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ricai方程的正周期解 riccai方程在方程理论和应用中起着重要作用。关于riccai方程的周期解有许多研究工作，但研究正周期解的问题很少。在文献中，假设a（t）c（t），然后a（t）x-b（t）x-c（t），验证了riccai方程x的存在。 1 riccdi方程 考虑周期系数Riccati方程: x′=A(t)x2+B(t)x+C(t)(1)x′=A(t)x2+B(t)x+C(t)(1) 其中A(t)、B(t)、C(t)是具有周期w的连续函数. 设: {0≤A(t)≤a2-b2≤B(t)≤-b100c1≤C(t)≤c2(2)?????0≤A(t)≤a2?b2≤B(t)≤?b100c1≤C(t)≤c2(2) 定理若b2121≥4a2c2, 且c1b2b1+√b21-4a2c22a2c1b2b1+b21?4a2c2√2a2, 则Riccati方程(1)存在一个正周期解. 2 线性微分方程系n,n 取 记M={φ(t)|φ(t)∈C,φ(t+w)=φ(t), 且α≤φ(t)≤β}. 任取φ(t)∈M. 考虑线性系: x′=(A(t)φ(t)+B(t))x+C(t)(7)x′=(A(t)φ(t)+B(t))x+C(t)(7) 由于A(t)φ(t)+B(t)≤a2β-b1(8) 所以, 由(5)式有A(t)φ(t)+B(t)≤-c2βA(t)φ(t)+B(t)≤?c2β(9) 这说明线性微分方程系(7)式有唯一w周期解xφ(t)如下: xφ(t)=∫t-∞exp[∫ts(A(τ)φ(τ)+B(τ))dτ]C(s)ds(10)xφ(t)=∫t?∞exp[∫ts(A(τ)φ(τ)+B(τ))dτ]C(s)ds(10) 由(9)式及(2)式有:xφ(t)≤∫t-∞exp[-c2β(t-s)]c2ds=βxφ(t)≤∫t?∞exp[?c2β(t?s)]c2ds=β 另一方面, 由(2)式,A(t)φ(t)+B(t)≥-b2(11) 所以,xφ(t)≥∫t-∞exp[-b2(t-s)]c1ds=c1b2=αxφ(t)≥∫t?∞exp[?b2(t?s)]c1ds=c1b2=α 因此,xφ(t)∈M 任给φ(t)∈M. 定义算子T:M→M如下: Τφ(t)=xφ(t)=∫t-∞exp[∫ts(A(τ)φ(τ)+B(τ))dτ]C(s)ds(12)Tφ(t)=xφ(t)=∫t?∞exp[∫ts(A(τ)φ(τ)+B(τ))dτ]C(s)ds(12) 下面证明T是连续的而且T是相对紧的. 1 122.2212212212212212222212222212222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222c2222222222222222222222222222222222222222222222222 |Τφ2(t)-Τφ1(t)|≤∫t-∞|exp∫ts(A(τ)φ1(τ)+B(τ))dτ-exp∫ts(A(τ)φ2(τ)+B(τ))dτ|?C(s)dτ≤c2∫t-∞exp∫ts(A(τ)φ1(τ)+B(τ))dτ|exp∫tsA(τ)(φ2(τ)-φ1(τ))dτ-1|ds≤c2∫t-∞exp[-c2β(t-x)]|exp∫tsA(τ)(φ2(τ)-φ1(τ))dτ-1|ds(由(9)式)|Tφ2(t)?Tφ1(t)|≤∫t?∞|exp∫ts(A(τ)φ1(τ)+B(τ))dτ?exp∫ts(A(τ)φ2(τ)+B(τ))dτ|?C(s)dτ≤c2∫t?∞exp∫ts(A(τ)φ1(τ)+B(τ))dτ|exp∫tsA(τ)(φ2(τ)?φ1(τ))dτ?1|ds≤c2∫t?∞exp[?c2β(t?x)]|exp∫tsA(τ)(φ2(τ)?φ1(τ))dτ?1|ds(由(9)式) 记∥φ1-φ2∥=supτ∈R|φ2(τ)-φ1(τ)|∥φ1?φ2∥=supτ∈R|φ2(τ)?φ1(τ)| 则|Τφ2(t)-Τφ1(t)|≤c2∫t-∞[exp(-(c2β-a2∥φ2-φ1∥)(t-s))-exp(-c2β(t-s))]ds 不妨设:a2∥φ2-φ1∥≤c22β 于是, |Τφ2(t)-Τφ1(t)|≤c2(1c2β-a2∥φ2-φ1∥-1c2β)=c2a2∥φ2-φ1∥(c2β-a2∥φ2-φ1∥)c2β≤2c2a2∥φ2-φ1∥(c2β)2=2β2a2c2∥φ2-φ1∥ 所以T是连续的. 2 w周期函数0.t dxφi(t)dt=(A(t)φi(t)