重难点专题05 与几何意义有关的函数问题（解析版）-决战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）.doc

重难点专题05与几何意义有关的函数问题 题型1类比斜率 1 题型2类比两点间距离 5 题型3类比点到直线距离 11 题型4类比直线与曲线的位置关系 15 题型5类比和差距离问题 18 题型6绝对值中的距离问题 18 题型7两曲线间点的距离 19 02重难点题型归纳 02 题型1 类比斜率 划重 划重 形如 n 的形式，用几何意义来理解，可以类比斜率。 m 【例题1】(2020秋 ·上海长宁 ·高三上海市延安中学校考阶段练习)已知f(x)是定义在R 上 的增函数，函数y =f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，若实数 m,n 满足等式f(n-3)+ f(√4m-m2-3)=0, 则的取值范围是( ) A. B. C. D.[1,3] 【答案】 C 【分析】由函数f(x)是递增函数，且y=f(x-1) 的图象关于点(1,0)对称，可得函数f(x)是 奇函数， 再结合f(n-3)+f( √4m-m2-3)=0 可得(n-3)+ √4m-m2-3=0, 进而利用数形 结合求出结果， 【详解】f(x)是定义在R 上的增函数，且函数y 所以函数f(x)是奇函数； =f(x-1)的图象关于点(1,0)对称， 又f(n-3)+f( √4m-m2-3)=0, 所以(n-3)+ √4m-m2-3=0, 且4m-m2-3≥0; 即 画出不等式组表示的图形，如图所示， 所以“表示圆弧上的点(m,n) 与点(0,0)连线的斜率， m 所以结合图象可得： 的最大值是直线OA 的斜率， 最小值是直线OB 的斜率，不妨设为 k, 消去n, 得(m-2)2+(km-3)2=1, 整理得(k2+1)m2- (6k+4)m+12=0, 令△=(6k+4)2-4×12×(k2+1)=0, 化简得3k2-12k+8=0, 为最小值； 所以的取值范围是： 故选：C. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，函数与方程的综合运用，考查数形结合思想.解 题分两部分， 一部分是由函数单调性与奇偶性化f(n-3)+f(√4m-m2-3)=0 为 (n-3)+ √4m-m2-3=0, 第二部分收(m,n) 构成点，用几何意义来解释此条件，用几 何意义来理 从而达到求解的目的. 【变式1 -1】1. (2023 ·全国 ·高三专题练习)函)的最小 值是( ) A. B.- 1 C.-√2 D.-√3 【答案】 B 【分析】对f(x)变形，得到, 当sinx≠1 时，利口何 意义求解其取值范围，进而得到-1≤f(x)0, 当sinx =1时 ，f(x)=0, 从而求出f(x)的 最小值. 【详解】当sinx=1,f(x)=0 当sinx≠1 时，因 ,g(x) 的含义是点(1,1)与单位圆上的点(sinx,cosx)的连线的斜率，所以 g(x)0, 所以 √ 1+g(x)21 f(x) ,即- 1≤f(x)0, f(x) 综 合 得 ， ∈[-1,0] 故最小值为： -1. 故选：B. 【变式1 -1】2. (2022秋 · 上城区校级期中)函的最小值为 【答案】 【分析】令x= cosa(O≤α≤π),根据同角三角函数基本关系可将函数解析式化为y= ),再分析其几何意义，利用直线的斜率公式和数形结合思想进行求解. 【详解】令x= cosa(O≤α≤π), 它表示半圆x2+y2=1(y≥0) 上的B(cosa,sina)与A(2,0)连线的斜率(如图所示), 由图象得当AB与半圆相切时， 最小值， 此时OB=1,0A=2, ∠OAB=30°, 故答案为 【变式1 -1】3. (2020 · 泰州一模)已知实数a,b,c 满足a2+b2=c2,c≠0, 则的取 值范围为 · 【答案】 【详解】由 a2+b2=c2 可设a=csinx,b=ccosx, ,可以理解 为点(2,0)与单位圆上的点连线的斜率的范围，而两条切线的斜率为±,则的取值 范围为 题型2类比两点间距离 划重点 的形式，用几何意义来理解，可以类比两点间距离问题。形如(x-a)2+(y-b)2 的形式，用几何意义来理解，可以类比两点间距离问题。 【例题2】(2023 ·浙江温州 · 乐清市知临中学校考模拟预测)设a0,b∈R, xe*+a(x-3)+b,x ∈[1,3] 有且只有一个零点，则a2+b2 的最小值为( A. B.