重难点专题04 函数中的双变量问题（解析版）-决战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）.doc

01重难点专题04 函数中的双变量问题 01 内容速览 题型1二次函数中的双变量问题 1 题型2构造函数法 9 题型3同构法 13 题型4换元法(整体法) 19 题型5选取主元法 22 题型6变换主元法 25 题型7参变分离 30 02 重难点题型归纳 题型1二次函数中的双变量问题 划重 划重 一元二次函数中的双变量问题，注意对称轴的使用 【例题1】(2023 · 安徽黄山 · 屯溪一中校考模拟预测)二次函数y=x2-2x+2与y=-x2+ a x + b ( a 0 , b 0 ) 在 它 们 的 一 个 交 点 处 切 线 互 相 垂 直 ， 则 的 最小值 为 【答案】 【分析】根据交点处切线垂直得到,再利用基本不等式中的乘1法即可得到最值. 【详解】解：设该交点为(x? ,y?), 因为f(x)=2x-2,则f(x?)=2x?-2, 因为g(x)=- 2x+a,则g(x?)=- 2x?+a, 因为两函数在交点处切线互相垂直， 所以(2x?- 2) · ( - 2x?+a)= - 1,yi=x2- 2x?+2= - x1+ax?+b, ,分别化简得-2x2+2x?- , 上述两式相加 52即时取等号.当且仅,且a+b= 5 2 即 时取等号. 故所求最小值 T 故答案为： 【点睛】切线问题是导数中常遇到的问题本题设交点坐标根据交点处切线垂直得到等式， 再转化为基本不等式中的最值问题. 【变式1-1】1.(2022秋 ·江苏宿迁 ·高三校考开学考试)已知二次函数f(x)=ax2+bx(a≠ 0)满足f(x+1) 为偶函数,且方程f(x)=x 有两个相等的实数根若存在区间[m,n]使得f(x) 的值域为[3m,3n], 则m+n= 【答案】 -4 【分析】由f(x+1) 为偶函数可以得到函数f(x)=ax2+bx(a≠0) 的对称轴为x=1, 可以 结合题意得到f(x) 在[m,n] 上单调递增，利构造二次方程，利用根与系数关 系即可. 【详解】∵ f(x+1) 为偶函数 f(x) 的对称轴是x =1 又f(x)=x有两个相等的实数根，即ax2+(b-1)x=0, 1 ∵f(x) 在[m,n]上单调递增， ∴m,n为方程f(x)=3x 的两根 故答案为： -4 满足有唯一【变式1 -1】2. (2023 ·河北 ·高三考试)已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b∈ 满足 有唯一 f(1-x)=f(1+x), 且在区间[-1,0]上的最大值为3,若函数g(x)=If(x)l-mx 零点，则实数m的取值范围是( ) A.[-2,0] B.(-2,0)U[2,+] C.(-2,0)D.(-0,0)u[2,+] 【答案】 C 【分析】利用f(1-x)=f(1+x) 求出二次函数对称轴，得到a,b 的关系，再利用最大值来 确定a,b的值，从而确定f(x) 的解析式，然后画出|f(x)| 的图象， g(x)=If(x)|-mx 的零点 等价于函数y=If(x)| 和y=mx 的交点问题，通过图象来进行求解. 【详解】解：已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b∈R), 满足f(1-x)=f(1+x), 即x=1 是函数f(x)的对称轴， 即b=-2a, f(x)=ax2-2ax 又∵f(x) 在区间[-1,0]上的最大值为3, 若a0, 则f(x) 在区间[-1,0]上递减， ∴f(x)max=f(- 1)=a+2a=3a=3, 解得： a=1, 此时，f(x)=x2-2x, 若a0, 则f(x)在区间[-1,0]上递增， f(x)max =f(0)=0不成立，舍去， 综上所述： f(x)=x2-2x, 若函数g(x)= If(x)l-mx有唯一零点， 即方程|f(x)|= mx有唯一实根， 画出y =If(x)|和y =mx的图象，如下所示： 当m=0 时 ，y=If(x) | 和y=0 有两个交点， 当m0 时，由mx=2x-x2, 即x2+(m-2)x=0, 令△=(m-2)2=0, 解得：m=2, 由图象可知：m≥2 时 ，y=If(x) | 和y =mx有两个交点， 当0m2 时 ，y=If(x) | 和y =mx有三个交点， 当m0 时，且y=mx 为曲线y=If(x)|的切线时，只有一个交点，即为原点， y =lf(x)|=x2-2x(x0), 可得：mx=x2-2x, 即x2- (2+m)x=0 只有相等的两实根， 可得判别式△=[- (2+m)]2=0