大学文科数学 完整版全套教学课件（共551页PPT）.ppt

第一节的例1中求抛物线下曲边梯形的例子中用分割、作和、 取极限，最后得到结果是 例4 解 因为 是 的一个原函数， 所以由牛顿—莱布尼茨公式 （*）， 有 何其简单！ 不禁慨叹微积分之强大. 计算定积分 思考题 2. 有极值？ 当 x为何值时， 1. 设 f (x)连续， 可导， 函数 如何求 个简单的介绍. 求原函数实际上是求导（求微分）的逆运算， 有关求原函数 的问题涉及到另一类积分—不定积分， 下面对不定积分作一 §4 不定积分 f (x)在某区间 I 上的原函数全体称为 f (x)的不定积分. 一、不定积分概念 记作 其中 称为积分号， f (x) 称为被积函数， x 称为积分变量. 由牛顿-莱布尼茨公式知， 求已知函数 f (x) 在区间 [a,b] 上的定 积分， 只需求出 f (x) 在区间 [a,b] 上的一个原函数 F(x)， 然后计 算原函数 F(x) 在 [a,b] 上的增量 即可. 若F(x) 是 f (x)在区间 I 上的一个原函数， 则 f (x) 在 I 上的不定积分 （全体原函数）就是 （ 为任意常数）. 称为被积表达式， 例如， 因为 所以 是 的一个原函数， 故 同理， 有 问题 因为 这两个关系表明了求不定积分和求导数互为逆运算. 这是明显的，因为不定积分是原函数全体， 求原函数与求导函 数就是互为逆运算. 对比1 和 对比2 和 例1 设曲线 y=f (x)上任一点(x, f (x))的切线斜率为2x， 且曲 线过(1,2)点， 求 f (x) 的表达式. 解 根据题意， 由于 所以 f (x)就是 2x 的原函数， 并且满足 f (1)=2. 由不定积分的定义可知 再根据曲线 y=f (x)线过(1,2)点， 得到1+C=2, C=1. 从而 二、直接积分法 直接或者对被积函数进行简单恒等变换后利用不定积分的公 式和性质求得结果， 这样的方法叫做直接积分法. 基本积分公式： 注1： 因为 而 所以 的原函数是 注2： 同样地相应于导数的线性运算性质， 可得不定积分的线性运 算性质. 性质1 若函数 f (x)和 g (x)在区间I上存在原函数， K为非零常数， 则函数 K f(x) 在区间I上也存在原函数， 且 则函数 在区间I上也存在原函数， 且 性质2 若函数 f (x) 在区间I上存在原函数， 例2 计算 解 例3 计算 解 例4 计算 解 例5 计算 解 根据三角公式 有 以上例题中的被积函数通过一些初等的代数变换后， 就变成 基本初等函数的不定积分了， 只要熟悉求导公式， 就很容易利 用基本积分公式了求出结果. 利用基本积分公式和积分的性质，所能计算的不定积分是非常有 限的 . 因此，有必要进一步来研究不定积分的求法.一种方式就是 把复合函数的求导法则反过来用于求不定积分，利用中间变量的 代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法 . 三、不定积分的换元积分法（凑微分法） 以 为例， 看看如何用换元法（凑微分法）. 就是把该 积分变成基本积分公式中形式， 能使用基本积分公式. 首先观察到被积函数 是个复合函数， 中间变量是u=2x， 而 积分变量是 x， 两者不一致， 因此我们用“凑”的方法使积分 变量与复合函数的中间变量变成一致： 要做的工作 而在在心中默认这个新变量. 将 2x 看成一个整体 u， 这样积分表达式就变成了 它是 的微分， 因此就找到了原函数 于是 是一个凑微分的过程， 就是要把积 分变量凑成被积函数的中间变量， 使积分表达式成为某个初 等函数的微分. 因此将这个方法称为“凑微分法”. 上述过程中将 2x 看成新变量 u， 可以实施变量代换； 也可以不 实施这个变换， 将2放入 后面的过程， （或第一类换元积分法）. 设 根据复合函数的求导法则，有 设 则 于是 在求不定积分 时， 可将其中的被积函数分解为 从而在被积表达式中凑出一个微分 使得 当 f (u)有原函数 F(u)时就可得到 的原函数 故此 方法称为 “凑微分法” 当 的原函数不好找， 而通过凑微分使 成为基本积 分表中的一个公式时， 问题就解决了， 这就是进行换元的动因. 可以发现使用凑微分的关键是：被积函数可以分解成两个部分 观察凑微分计算公式 相乘，一部分是复合函数，含有中间变量；而另一部分是中间 变量的导数，或者相差一个常数倍。 如果使用换元，则只需令 中间变量为u即可。 例6 计算 解法1 令 则 于是 注： 要记得换元后要把 u代回， 还原成自变量 x的函数. 解法2 直接凑微分，有 这里将 3x 看成 u， 就是求基本积分表中的积分 例7 计算 解 观察 例8 计算 解