高等数学教案-1.6-函数的连续性与间断点.doc

§1.6 函数的连续性与间断点 【教学内容】： 1、函数的连续性 2、函数的间断点及其分类 3、初等函数的连续性 【教学目的】： 1、理解函数在某一点处连续的概念 2、会判断函数间断点的类型 3、了解初等函数的连续性 【教学重点】: 函数连续的概念、函数间断点分类 【教学难点】 函数间断点分类 【教学设计】: 首先介绍连续的两种定义（极限定义和增量定义）（20分钟），在理解函数连续性概念的基础上，介绍函数的间断点的定义及其分类，第一类间断点（30分钟），第二类间断点（15分钟），让学生重点掌握求函数的间断点并分类。最后介绍初等函数的连续性（15分钟），课堂练习及小结（20分钟）。 【授课内容】： 引入：自然界中有许多现象，如气温的升高、河水的流动、植物的生长等等，都是连续变化着的。这种现象的函数关系上的反映，就是函数的连续性。例如就气温变化而言，当时间变动很微小时，气温的变化也很微小，这种特点就是所谓的连续性。 函数的连续性 如右图所示。 增量定义 设函数在点的某一邻域内有定义， 如果， 那么就称函数在点处连续。 推导：当在点处连续时，令，则 极限定义 设函数在点的某一邻域内有定义，如果 ， 则称函数在处连续。 若，则称在处左连续，若， 则称在处右连续。 由左、右极限与极限的关系可以得到： 注意：左连续、右连续都不能说明连续，连续是既左连续又右连续。 例1、确定a、b使在处连续。 解：在处连续 因为；； 所以时，在处连续。 二、函数的间断点及其分类 1、间断点的定义：若，则称函数在点处间断，为函数的间断点。 思考：大致可能有几种情况会出现间断点？ （1）函数在该点没有定义； （2）左、右极限存在不相等； （3）左、右极限存在相等，但不等于该点处的函数值； （4）左、右极限至少有一个不存在。 下面我们来观察下述几个函数的曲线在点的情况，给出间断点的分类： ② ② ① ① 在连续。 在间断，极限为2。 ③④ ③ ④ 在间断，极限为2。 在间断， 左极限为2，右极限为1。 ⑥ 在 间断 ⑥ 在 间断 ⑤ 在间断，极限不存在。 像②③④这样在点左右极限都存在的间断，称为第一类间断，其中极限存在的②③称作第一类间断的可补间断，此时只要令，则在函数就变成连续的了；④被称作第一类间断中的跳跃间断。⑤⑥被称作第二类间断，其中⑤也称作无穷间断，而⑥称作震荡间断。 2、间断点的分类： （1）第一类间断点：左、右极限都存在的间断点 可去间断点：，即左、右极限存在且相等， 但不等于该点的函数值。 例2、求下列函数的间断点并进行分类 1、 分析：函数在处没有定义，所以考察该点的极限。 解：因为 ，但在处没有定义 所以 是第一类可去间断点。 2、 分析：是分段函数的分段点，考察该点的极限。 解：因为 ，而 所以 是第一类可去间断点。 总结：只要改变或重新定义在处的值，使它等于，就可使函数在可去间断点处连续。 跳跃间断点或不可去间断点： ，即左、右极限存在但不相等。 3、 分析：是分段函数的分段点，且分段点左右两侧表达式不同，考察该点的左、右极限。 解：因为 ； 所以 是第一类跳跃间断点。 4、 分析：函数在处没有定义，且左、右极限不同，所以考察该点的单侧极限。 解：因为 ； 所以 是第一类跳跃间断点。 （2）第二类间断点：左、右极限至少有一个不存在或不是第一类间断点的间断点。 5、 解：因为 所以 是第二类无穷间断点 6、 解： 极限不存在 所以 是第二类振荡间断点 7、求的间断点，并将其分类。 解：间断点： 当时，因，故是可去间断点。 当时，因，故 是无穷间断点。 三、初等函数的连续性 1、若在内每一点都连续，则称在内连续。若在内连续，且在x=处右连续，在x=处左连续，则称在上连续。 2、一切初等函数在其定义区间内是连续的。 基本初等函数在其定义区间上都是连续的，基本初等函数在其定义区间上 经过有限次和、差、积、商运算，在其定义区间上依然是连续的。所以，初等函数在其定义区间内是连续的，但并不能说明初等函数其定义域上连续。例如函数在其定义域上不连续。 例4求下列极限 （1）； 分析：连续函数求极限只需直接代入。 解 ：=1 （2） 分析：“”型，使用分母有理化。 解：原极限==1 启发与讨论 求 分析：通过极限运算，得到一个关于x的函数， 找出分段点，判断。 解：因为； 所以是第一类跳跃间断点 因为；； 所以是连续点。 课堂练习 考察函数在x=0处的连续性。 解：； 所以是第一类跳跃间断点。 2、设，则是的 间断点。 （）可去