13-4课题学习 最短路径问题 人教版数学八上大单元教学.ppt

新知讲解 最短路径问题： 两点之间，线段最短 依据 利用轴对称实现线段的转移 关键 需要注意的细节： ? ? ? ? ? ? 区分哪些是定点，哪些是动点，哪条直线是对称轴利用图形的轴对称性，会简化过程. 新知讲解 如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？ 新知讲解 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？ 由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小. 新知讲解 A B M N a b （1）由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋NB最小时，AM＋MN＋NB最小．问题可转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？ 新知讲解 （2）如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB． 问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N＋NB最小？ A B M N a b A′ 新知讲解 （3）如图，在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短．因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求． A B M N a b A′ 你能证明此时AM＋MN＋NB最小吗？ 新知讲解 证明：在△A′N′B中， ∵A′B＜A′N′＋BN′， ∴A′N＋BN＋MN＜AM′＋BN′＋M′N′． ∴AM＋MN＋BN＜AM′＋M′N′＋BN′． 即AM＋MN＋BN最小． N′ A B M N a b A′ M′ 新知讲解 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择. 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.某开发商的经适房的三个居民小区 A、B、C 在同一条直线上，位置如图所示，其中小区 B 到小区A、C 的距离分别是 70m 和 150m，小区 A、C 之间建立一个超市，要求各小区居民到超市总路程和最小，那么超市的位置应建在 ( ) A.小区 A B. 小区 B C.小区 C D. AC 的中点 2.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站,向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( ) B D 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为 。 4.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是 。 5 （0，3） 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 5.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？ A D D ′ C C′ E E′ B 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 解：作AF⊥CD，且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥. 理由：由平移的性质可知，AD//FD′，AD=FD′. 同理，BE=GE′. 由两点之间线段最短可知，GF最小. 13.4课题学习 最短路径问题 人教版八年级上册 教学目标 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题. 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 新知导入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ A B ① ② ③ ②最短，因为两点之间，线段最短 2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ P l A B C D PC最短，因为垂线段最短 新知讲解 从图中的 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地.到河边个么地方饮马可使他所走的路线全程最短? l 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 新知讲解 l 当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 BC 的和最小. C 新知讲解 如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点C，使得CA+CB最小。 ? ? A B l 解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C即为所求的位置，可以使得AC+BC的值最小. 依据：两点之间，线段最短. .C 那A、B两点在直线l的同一侧呢？如何确定点C呢？ 新知讲解