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初中数学-因式分解常用方法 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之 一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数 学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习 这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而 且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有 着十分独特的作用。 一、提公因式法： ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法： 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反 向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1） (a+b)(a-b)=a2-b2-------a2-b2=(a+b)(a-b)； （2） (a±b)2=a2 ±2ab+b2———-a2 ±2ab+b2=(a±b)2； （3） (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； （4） (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 下面再补充两个常用的公式： （5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； （6）a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 例 1． 已知a，b，c 是 ΔABC 的三边，且a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca ， 则 ΔABC 的形状是() A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解： a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 = 0 a = b = c 三、分组分解法： （一）分组后能直接提公因式 例 1．分解因式： am + an + bm + bn 。 分析： 从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提， 也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项 都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为 一 组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解： 原式= (am + an) + (bm + bn) =a(m + n) + b(m + n) =(m + n)(a + b) 例 2．分解因式： 2ax 10ay + 5by bx 。 解法一：第一、二项为一组； 解法二： 第一、四项为一组； 第三、四项为一组。第二、三项为一组。 解： 原式= (2ax 10ay) + (5by bx) 原式= (2ax bx) + ( 10ay + 5by) = = 2a(x 5y) b(x 5y) =x(2a b) 5y(2a b) (x 5y)(2a b) =(2a b)(x 5y) 练习： 分解因式 1、a 2 ab + ac bc；2、xy x y +1。 （二）分组后能直接运用公式 例 3．分解因式： x2 一 y 2 + ax + ay 。 分析： 若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽 然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分 组。 解： 原式= (x2 一 y 2 ) + (ax + ay) = = (x + y)(x 一 y) + a(x + y) (x + y)(x 一 y + a) 例 4．分解因式： a 2 一 2ab + b2 一 c 2 解： 原式= =(a 一 b)2 一 c 2 (a2 一 2ab + b2 ) 一 c2 =(a 一 b 一 c)(a 一 b + c) 练习： 分解因式 3、x2 一 x 一 9y 2 一 3y4、x2 一 y 2 一 z 2 一 2yz 综合练习： （1） （3） （5） （7） （2）x3 + x2 y 一 xy 2 一 y 3 ax2 一 bx2 + bx 一 ax + a 一 b （2） x2 + 6xy + 9y 2 一 16a2 + 8a 一 1（4）a 2 一 6ab + 12b + 9b2 （6）a 4 一 2a 3 + a 2 一 9 4a 2 x 一 4a2 y 一 b2 x + b2 y （6） （8）x2 一 2xy 一 xz + yz + y 2 a 2 一 2a + b2 一 2b + 2ab + 1 （8） 一 4a （9） y(y 一 2) 一 (m 一 1)(m +1) （10） (a + c)(a 一 c) + b(b