2023年江苏省南京市南师附中特长生考试数学试题.docxVIP

2023南师附中特长生考试 综合卷（数学试题） 一、填空题 1．若，则______． 2．方程的解为______． 3．5张“一诚卡”上分别写着数字1、1、2、2、3，从中任意抽取3张，则这3个数字可以作为三角形三边的边长的概率为______． 4．如图，中，D，E在BC上，，，若，，则______． 5．已知质数x，y，z满足，则______． 二、解答题 6．已知方程（k为常数） （1）求证：该方程恒有两个不相等的实数根 （2）设该方程的两个实根为，，求的最小值． 7．因式分解：（1）；（2）． 8．如图，的外心为O，垂心为H，D为BC的中点．求证：． 数学加试 1．已知，，，求的值． 2．已知方程有正根，求a的取值范围． 3．如图，内切于半径为3，圆心角为60°的扇形中，与外切，与扇形内切，求的半径． 4．已知n，k均为正整数，且对于每一个确定的n，满足不等式的k仅有一个，求n的最大值与最小值． 信息加试 1．已知，，，求的值． 2．已知方程有正根，求a的取值范围． 3．已知整数a，b，c满足，且其中任意两数之和是第三个数的整数倍，求所有可能的值。 4、已知n为正整数，且和都是完全平方数，求证：n是40的倍数． 2023南师附中特长生考试 综合卷（数学试题） 一、填空题 1．【解析】因为，所以，所以， 整理得，所以． 2．【解析】因为 所以，所以， 所以， 所以． 3．【解析】5张一诚卡片任选3张，共有10种选法，其中可以作为三角形三边的边长的选法有：（共2种选法），，共3种选法，所以所求概率为． 4．【解析】由可得，故． 又因为，所以， 所以，所以， 所以，所以． 5．【解析】由可知，不妨设， 则，则， 结合y，z为质数，易得或， 所以． 二、解答题 6．【解析】（1）原方程可化为：， 所以原方程的两根为2和， 又因为， 所以该方程恒有两个不相等的实数根． （2）由（1）可得，所以的最小值为1． 7．（1）【解析】设，则原式 ． （2）【解析】原式． 8．【解析】过点B作圆O的直径BE，连接AE，CE，CH． 因为H为的垂心，所以， 因为BE为圆O的直径，所以 所以，同理可证， 所以四边形AHCE是平行四边形，所以． 又因为D为BC的中点，O为BE的中点，所以． 所以． 数学加试 1．【解析】设， 则， 则， 所以． 2．【解析】设t为方程的正根， 则， 则， 设，则， 由t为正数可得，所以a的取值范围是． 3．【解析】设扇形的圆心为A，与扇形的弧切于点B，与扇形的半径切于点C，与扇形的半径切于点F，连接AB，OC，EF，AE，OE，过E作于点D． 由题可知，A，O，B共线，直角中，所以， 所以，所以，即的半径为1． 设的半径为r，则， 则直角中，，，，则． 则直角中，，，，， 由勾股定理可得：，解得：． 又因为，所以，即的半径为． 4．【解析】原不等式可化为， 因为满足该不等式的k仅有一个，所以，解得：． 且当时，，恰有一个整数解，符合题意． 所以n的最大值为40． 另一方面，因为n，k均为正整数， 所以由可得， 即，解得：． 且当时，，恰有一个整数解，符合题意． 所以n的最小值为9． 信息加试 1．【解析】设， 则， 则， 所以． 2．【解析】设t为方程的正根， 则， 则， 设，则， 由t为正数可得，所以a的取值范围是． 3．【解析】由已知得： 为整数，且，故． 为负整数，故，所以，所以． 所以，则只可能是-1或0． 4．【解析】设，，其中a，b都为正整数． ①因为a为奇数，所以，所以， 所以b为奇数，所以，所以，所以． ②对于任意整数x，有，1，4． 因为，所以只可能是， 故，所以，所以． 综合①②可得，即n是40的倍数．