九年级培优专题：经典几何模型——“胡不归”.doc

九年级培优专题：经典几何模型——“胡不归” PAGE 1 PAGE 1 九年级培优专题：经典几何模型—“阿氏圆”与“胡不归” “胡不归”模型典故 ADBC沙 砾 地 带从前，有一个小青年在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A→B（如图示意），而忽视走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“ A D B C 沙 砾 地 带 二.“胡不归”模型建立 如图示意，已知sin∠MBN=k，点 P为角∠MBN其中一边 BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP，则当“PA+k·PB”最小时，P点的位置如何确定? 分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作 PQ⊥BN垂足为Q，则 k·PB=PB·sin∠MBN=PQ, “PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值，即A、P、Q三点共线时最小。 三.“胡不归”模型破解策略 “胡不归”构造某角正弦值等于系数k（k小于1） 当k值大于1时，则提取k，构造某角正弦值等于系数 起点构造所需角（k=sin∠CAE）→过终点作所构角边的垂线→利用垂线段最短解决 四.“胡不归”典型例题讲解 1.四边形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M为对角线BD（不含B 点）上任意一点,则 AM+BM 的最小值为 . 变式思考：(1)本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗？ (2)本题如要求“AM+BM+CM”的最小值你会求吗？ 2.如图示意，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为AO，点D为射线AO上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当AD= 时，运动时间最短为 秒. 3.如图示意，在菱形ABCD中，AB=6，且∠ABC=150°，点P是对角线AC上的一个动点，则PA+2PB的最小值为 . 用费马点思想做下试试 4.如图示意，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上。 试说明CE是⊙O的切线。 若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB; （3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的AB的长。 前方3题高能 5.如图示意，AB为半圆直径，AB=4，点P为半圆上一动点，点Q为AB上一点，且∠PQA=60°，求PQ+AQ的最大值。 6.如图示意，AB为半圆直径，AB=4，点P为半圆上一动点，过点P作PQ⊥AB，求PQ+3AQ的最大值。 7.在平面直角坐标系中，已知点A（6，0），B（0，2），以AB为斜边，在右上方作Rt△ABC，设C点坐标为（x，y），则x+y的最大值为__________. 8.如图示意，抛物线与直线交于A、B两点，交x轴于D、C两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（3，0）。 （1）抛物线的函数关系式为 ，tan∠BAC= 。 （2）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出所有符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由。 （3）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位的速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到点A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？ 9.已知抛物线，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线的另一个交点为D。 （1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为 。 （2）若在第三象限内的抛物线上有一点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标。 （3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上一点（不含端点），连接BE，一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位运动到点D停止，问当点E的坐标为多少时，点Q运动的时间最少？