2018中考总复习圆的切线专题.docx

PAGE PAGE 10 / 10 题型专项(八) 与切线有关的证明与计算 类型 1 与全等三角形有关 1．(2016·梧州)如图，过⊙O 上的两点A，B 分别作切线，交于BO，AO 的延长线于点C， D，连接CD，交⊙O 于点E，F，过圆心O 作OM⊥CD，垂足为点M. 求证：(1)△ACO≌△BDO； (2)CE＝DF. 证明：(1)∵AC，BD 分别是⊙O 的切线， ∴∠A＝∠B＝90°. 又∵AO＝BO，∠AOC＝∠BOD， ∴△ACO≌△BDO. (2)∵△ACO≌△BDO， ∴OC＝OD. 又 ∵OM⊥CD，∴CM＝DM. 又∵OM⊥EF，点 O 是圆心， ∴EM＝FM. ∴CM－EM＝DM－FM. ∴CE＝DF. 2．(2016·玉林模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC＝60°，P 是OB 上一点，过P 作 AB 的垂线与AC 的延长线交于点Q，过点C 的切线CD 交PQ 于点D，连接OC. (1)求证：△CDQ 是等腰三角形； (2)如果△CDQ≌△COB，求 BP∶PO 的值． 解：(1)证明：由已知得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°. ∴∠Q＝30°，∠BCO＝∠ABC＝30°. ∵CD 是⊙O 的切线，CO 是半径， ∴CD⊥CO. ∴∠DCQ＝∠BCO＝30°. ∴∠DCQ＝∠Q. 故△CDQ 是等腰三角形． (2)设⊙O 的半径为 1，则AB＝2，OC＝1，BC＝ 3. ∵等腰三角形CDQ 与等腰三角形COB 全等， ∴CQ＝CB＝ 3. ∴AQ＝AC＋CQ＝1＋ 3. 1 1＋ 3 ∴AP＝2AQ＝ 2 . 3－ 3 ∴BP＝AB－AP＝ 2 . 3－1 ∴PO＝AP－AO＝ 2 . ∴BP∶PO＝ 3. 3．(2016·柳州)如图，AB 为△ABC 外接圆⊙O 的直径，点 P 是线段 CA 的延长线上一点， 点 E 在弧上且满足PE2＝PA·PC，连接 CE，AE，OE 交CA 于点D. (1)求证：△PAE∽△PEC； (2)求证：PE 为⊙O 的切线； (3)若∠B＝30°，AP 1 ，求证：DO＝DP. ＝2AC 证明：(1)∵PE2＝PA·PC， ∴PE PA PC＝PE. ∴ 又∵∠APE＝∠EPC， ∴△PAE∽△PEC. (2)∵△PAE∽△PEC，∴∠PEA＝∠PCE. 2∵∠PCE＝1∠AOE， 2 2∴∠PEA＝1∠AOE.∵OA＝OE， 2 ∴∠OAE＝∠OEA. ∵∠AOE＋∠OEA＋∠OAE＝180°， ∴∠AOE＋2∠OEA＝180°， 即 2∠PEA＋2∠OEA＝180°. ∴∠PEA＋∠OEA＝90°. ∴PE 为⊙O 的切线． (3)设⊙O 的半径为r，则AB＝2r. ∵∠B＝30°，∠PCB＝90°，∴AC＝r，BC＝ 3r. 过点O 作 OF⊥AC 于点F， ∴OF＝ 3 ∵AP 1 ， 2 r. ＝2AC r 3 ∴AP＝2.∵PE2＝PA·PC，∴PE＝ 2 r. 在△ODF 与△PDE 中， ?∠ODF＝∠PDE， ?∠OFD＝∠PED， ? OF＝PE， ∴△ODF≌△PDE.∴DO＝DP. 类型 2 与相似三角形有关 4．(2016·泰州)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，在 D 为AB 上一点，以 CD 为直径的⊙O 交 BC 于点E，连接AE 交 CD 于点P，交⊙O 于点F，连接 DF，∠CAE＝∠ADF. 判断AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由； 若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求 CP 的长． 解：(1)AB 是⊙O 切线． 理由：∵∠ACB＝90°， ∴∠CAE＋∠CEA＝90°. ∵∠CAE＝∠ADF，∠CDF＝∠CEA， ∴∠ADF＋∠CDF＝90°. ∴AB 是⊙O 切线． (2)连接CF. ∵∠ADF＋∠CDF＝90°，∠PCF＋∠CDF＝90°， ∴∠ADF＝∠PCF. ∴∠PCF＝∠PAC. 又∵∠CPF＝∠APC， ∴△PCF∽△PAC. PC PF. ∴PA＝PC ∴PC2＝PF·PA.设 PF＝a，则PC＝2a. ∴4a2＝a(a＋5)． ∴a 5 ＝3. ∴PC＝2a 10 ＝ 3 . 5．(2015·北海)如图，AB，CD 为⊙O 的直径，弦AE∥CD，连接BE 交 CD 于点F，过点 E 作直线EP 与CD 的延长线交于点P，使∠PED＝∠C. (1)求证：PE 是⊙O 的切线； 求证：ED 平分∠BEP； 若⊙O 的半径为 5，CF＝2EF，求PD 的长． 解：(1)证明：连接OE. ∵CD 是圆O 的直径， ∴∠CED＝90°. ∵OC＝OE， ∴∠C＝∠OEC. 又∵∠PED＝∠C， ∴∠PED＝∠OEC. ∴∠PED＋∠OED＝∠OEC＋∠OED＝90°，即∠OEP＝90°. ∴OE