高等数学第一章函数与极限.pptx

高等数学第一章函数与极限;1.1.1 常量与变量;定义1：设x 和 y 为同一过程两个变量 ，若对非空数集D 中任一x （记为 ） ，在数集M中存在 y （记为 ）按一定的法则 f 有 唯一确定的 值与之对应，则称 f 是定义在D上的函数。 记作 y = f ( x ) 数集D称为该函数 的定义域， x 叫做自变量， y 叫做因变量。自变量取 时的函数值 记成 、 或 ;全体函数值的集合 称为函数的值域。;;;分段函数：在定义域的不同部分内用不同的解析式 表示的函数，称为分段函数。;符号函数;;;1.1.3 函数的表示方法 （1）解析法：用数学公式或方程来表示变量间的函数关系。 （2）列表法：把一系列自变量的值及其对应的函数 值列成一个表格来表示函数关系。 （3）图象法：用坐标平面内的图形（一般是曲线）表示 变量间的函数关系。;1.1.4 几种特殊的函数性质 （1）奇偶性 设函数 f ( x ) 的定义域为对称区间（-L , L）（也可以 是[-L , L] , （－∞，＋∞）），如果对于定义域的任 一 x 都满足f ( －x ) = － f ( x )（f ( －x ) = f ( x ) ）， 则称函数 f ( x ) 为奇函数（或偶函数）。 ; （2）单调性 若函数 f ( x ) 在区间 I 上有定义，如果对于区间 I 上 任意两点 及 ，当 时，有 ，则称函数 f ( x ) 在区间 I 上单调增加（单调递减）。 单调递增或单调递减函数统称为单调函数。 ; （3）有界性 设函数 y = f ( x ) 定义在区间 (a，b) 上，若存在 一个常 数 k ， 使得当 x ∈ (a，b) 时，恒有 成立，则称f ( x )在 (a，b)有上界（下界）。 若 f ( x )在 (a，b)既有上界又有下界， 则称f (x )在 (a，b)上有界。 如果函数 f ( x ) 在??定义域内有界，则称f ( x ) 为有界函数。 ;（4）函数的周期性 设有函数 f ( x ) ，如果存在一个不为零的数 T， 使得对于定义域的任一实数 x ，都有 f ( x+T ) = f ( x ) 则称 f ( x ) 周期函数， T 为函数的周期。;1.1.5 反函数 设函数 y = f ( x ) 的定义域为 D ，值域为 M。 如对于任意的 y ∈M，有x ∈D，使得f ( x ) = y， 则变量 x 是变量 y 的函数，其对应规则记作 。 这个定义在 M 上的函数 ，称它为函数 y = f ( x )的反函数，而 y = f ( x ) 称为直接函数。;; 这六种函数统称为基本初等函数，这些函数的性质、图形必须熟悉． ; 例2 分析下列复合函数的结构：;;邻域;;N;例如,;;;;;例1. 已知;例2. 设;一、自变量趋于有限值时函数的极限;;;例 证明;;;2.自变量趋于有限值时函数的极限;定义1 .