§3定积分的简单应用课件.pptVIP

定积分的简单应用§3定积分的简单应用 定积分的几何意义（1）当f(x) ≥0时， 表示的是y=f(x)与x=a, x=b和x轴所围曲边梯形的面积。（2）当f(x) ＜0时，y=f(x)与x=a, y=b和x轴所围曲边梯形的面积为（一）复习回顾§3定积分的简单应用 -∏∏1-1yxo例1.求如图所示阴影部分图形的面积。分析：图形中阴影部分的面积由两个部分组成；一部分是x轴上方的图形的面积（记为s1）;另一部分是x轴下方图形的面积（记为s2）.根据图像的性质： s1 =s2.所以，所求阴影部分的面积是4..（二）例题分析§3定积分的简单应用 yxo思考：求如下图形中阴影部分面积§3定积分的简单应用 例2.求抛物线y=x 与直线y=2x所围成平面图形的面积。2o2x4y求出曲线y= 与直线y=2x的交点为（0，0）和（2，4）。设所求图形的面积为S，根据图像可以看出S等于直线y=2x，x=2以及x轴所围成平面图形的面积（设为S1）减去抛物线y= ，直线x=2以及x轴所围成的图形的面积（设为S2）。解 :画出抛物线y= 与直线y=2x所围成的平面图形，如图所示。§3定积分的简单应用 ∵§3定积分的简单应用 思考： 求曲线y= 与直线x+y=2围成的图形的面积。小结： 求平面图形的面积的一般步骤 （1）根据题意画出图形； （2）找出范围，确定积分上、下限； （3）确定被积函数； （4）写出相应的定积分表达式； （5）用微积分基本定理计算定积分，求出结果。§3定积分的简单应用 抽象概括：一般地，设由曲线y=f(x)，y=g(x)以及直线x=a，y=b所围成的平面图形（如图1）的面积S，则yxoaby=f(x)y=g(x)syy=f(x)sy=g(x)aboxxyoaby=g(x)y=f(x)s图1图2图3想一想：上图中（2）、（3）满足上面的公式吗？§3定积分的简单应用 例3.求曲线x= 和直线y=x-2所围成的图形的面积。x=1s1s2yox4212-2-11y=x-2x=解：阴影部分面积S=S1+S2.S1由y= ，y= - ，x=1围成： S2由y= ，y= x-2 ，x=1围成： §3定积分的简单应用 §3定积分的简单应用 （三）练习1.求曲线y=1/x、直线x=1，x=2以及x轴所围成的平面图形的面积。2.求由曲线xy=1及直线x=y，y=3所围成的平面图形的面积。3.求曲线y=sinx(x∈[ ])和y=cosx(x ∈[ ])围成的平面图形的面积。§3定积分的简单应用 解:求两曲线的交点:§3定积分的简单应用 §3定积分的简单应用 于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式．§3定积分的简单应用 (2)变力沿直线所做的功 例4：如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉长6cm,需做功（ ）A. 0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J所以做功就是求定积分则由题可得。 略解：设A 说明：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x= b点，则变力F(x) 所做的功为: §3定积分的简单应用 （四）总结（1）利用定积分求所围平面图形的面积，要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上、下限。（2）当平面图形是由多条曲线围成时，要合理分区域积分求面积。§3定积分的简单应用 谢谢聆听！§3定积分的简单应用