定积分概念教案.docVIP

PAGE PAGE 2 教案专用纸 第 页 教 案 课题：定积分的概念 一、教学内容： 1. 定积分的概念及几何意义； 2. 利用定积分的概念或几何意义计算简单的定积分。 二、教材分析： 内容定位： 1．工具性：定积分的概念为一些专业课的某些知识提供了理论基础,如《工程力学》中的重心、惯性矩等等;定积分的几何意义为求某些简单的定积分提供了计算方法。 2．职业能力：主要体现在提高了学生用积分思想分析解决专业问题的能力。 3．课程方面：本次课是学生学习完导数和不定积分这两个概念后的学习,定积分概念的建立为微积分基本定理的引出做了铺垫,起到了承上启下的作用。而且定积分概念的引入体现着微积分“无限分割、无穷累加”“以直代曲、以不变代变”的基本思想。所以,无论从内容还是数学思想方面,本次课在教材中都处于重要的地位。 高职高专数学教学中,定积分一直是教材中的一个重点,也是一个难点。说是重点,源于定积分的实用性和现实性,同时它也是其它知识点的基础。说是难点,因为学生对定积分概念的理解存在困难。因此,在高职高专数学教学过程中,如何使得学生学好定积分显得尤为重要。 三、教学目标： 通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定积分的实际背景，理解定积分的思想方法，构建定积分的认识基础;通过“数形结合”的方法使学生理解定积分的几何意义,掌握定积分的概念。 四、教学重点、难点 ： 〔教学重点〕：定积分的概念、定积分的几何意义； 〔教学难点〕：用定义求简单的定积分。 五、学情分析： 我所教授的学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的接受新知识很快，有的很慢，有的根本听不懂，基于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化，引导学生探索性学习。 六、教学方法： 根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的积极性。 七、教学手段：传统教学与多媒体资源相结合。 八、教学时数：1课时。 九、教学过程： 1、由两个实际例子引出定积分的概念. 图4. 图4.1 例1 求曲边梯形的面积． 初等数学可以计算多边形、圆形和扇形等规则图形的面积，但对于较复杂的曲线所围成的图形(图4.1)的面积计算则无能为力．如图所示，我们总可以用若干互相垂直的直线将图形分割成如阴影部分所示的基本图形，它是由两条平行线段，一条与之垂直的线段，以及一条曲线弧所围成，这样的图形称为曲边梯形．特别地，当平行线之一缩为一点时，称为曲边三角形． 那么，为什么要研究曲边梯形呢？ 因为求任何曲线围成的几何图形的面积，都可归结为求若干个曲边梯形的面积的代数和. 现把问题归结如下： 求由直线和连续曲线所围成的曲边梯形(图4.2)的面积． 图4.2AB如果曲边梯形的高不变,即(常数),则根据矩形面积公式 图4.2 A B 便可求出它的面积．但如果是一般曲线，则底边上每一点处的高随变化而变化，上述计算公式就不适用．对于这样一个初等数学无能为力的问题，我们解决的思路是：将曲边梯形分成许多小长条(图4.2),每一个长条都用相应的矩形去代替,把这些矩形的面积加起来,就近似得到曲边梯形的面积．小长条分得越细，近似程度越好，取“极限”就是面积．具体地，分四步来解决． （1）分割(化整为零)　在区间内任意添加个分点： 将区间分成个子区间 ，这些子区间的长度记为 ， 并用符号表示这些子区间的最大长度．过个分点作轴的垂线，于是将曲边梯形分割成个小曲边梯形，它们的面积记作 ．显然 ． （2）近似代替（以直代曲）　在第个子区间上任取一点，作以为高，为底的第个小矩形，小矩形的面积为 　　　第个小曲边梯形的面积 ． （3）求和（求曲边梯形面积的近似值）　将个小矩形的面积加起来，便得到原曲边梯形面积的近似值　． （4）取极限（积零为整）不难想到，当分割越来越细(即越来越大，同时最长的子区间长度越来越小时)，个矩形的面积和就越来越接近于原曲边梯形的面积．于是当时，矩形面积之和的极限就是原曲边梯形的面积S，即 ． 例2 求变速直线运动的路程 已知作直线运动物体的速度为，求该物体在时间间隔内运动的路程ｓ． 如果物体作匀速直线运动，即速度是常量，那么 路程＝速度时间 但现在物体运动的速度是变量，我们可以采取与计算曲边梯形面积相似的方法来计算要求的路程． （1） 分割（化整为零） 在时间区间内任意添加个分点： 将区间分成个子区间 ，这些子区间的长度记为 ，并用符号表示这些子区间的最大长度．这样就把路程ｓ分割成段路程． 显然　　． （2）近似代替（以匀代变） 在第个子区间上任取一点，则