sisirsis模型资料分析和总结.docx

精品文档 传染病模型求解 二、实验目的和要求 求解微分方程的解析解 求解微分方程的数值解三、实验内容 问题的描述 各种传染病给人类带来的巨大的灾难，长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的的传播过 程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课 题。 不同类型传染病有各自不同的特点，在此以一般的传播机理建立几种 3 模型。分别对 3 种建立成功的模型进行模型分析，便可以了解到该传染病在人类间传播的大概情况。 模型一（SI 模型）： 模型假设 在疾病传播期内所考察地区的总人数N 不变，人群分为健康人和病人，时刻t 这两类人在总人数中所占比例为s（t）和 i（t）。 每个病人每天有效接触的平均人数是常数 a，a 成为日接触率，当病人与健康者有效接触时，可使其患病。 建立模型 根据假设，每个病人每天可使 as（t）个健康人变成病人，t 时刻病人数为Ni（t），所以每天共有 aNs（t） i（t）个健康者被感染，即病人的增加率为： Ndi/dt=aNsi 又因为s（t）+i（t）=1 再记时刻t=0 时病人的比例为i0 则建立好的模型为： di dt ? ai(1 ? i) i(0)=i0 模型求解 （代码、计算结果或输出结果） syms a i t i0 % a：日接触率，i：病人比例， s：健康人比例，i0：病人比例在t=0 时的值i=dsolve(Di=a*i*(1-i),i(0)=i0,t); y=subs(i,{a,i0},{0.3,0.02}); ezplot(y,[0,100]) figure i=str2double(i); i=0:0.01:1; y=0.3*i.*(1-i); plot(i,y) 精品文档 精品文档 SI 模型的 i~t 曲线 SI 模型的 di/dt~i 曲线 结果分析 由上图可知，在 i=0:1 内，di/dt 总是增大的，且在 i=0.5 时，取到最大值，即在 t-inf 时，所有人都将患病。 上述模型显然不符合实际，为修正上述结果，我们重新考虑模型假设，建立SIS 模型 模型二（SIS 模型） 模型假设 假设条件 1.2 与 SI 模型相同； 每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数 u，成为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的健康者。显然 1/u 是平均传染期。 （2）模型建立 病人的增加率：Ndi/dt=aNsi-uNi 且 i（t）+s(t)=1； 则有： di/dt=ai(1-i)-ui 在此定义 k=a/b，可知 k 是整个传染传染期内每个病人有效接触的平均人数，成为接触数。则建立好的模型为： di dt ? ?ai[i ? (1 ? 1/ k )] i(0)=i0; 模型求解 （代码、计算结果或输出结果） syms a i u t i0 % a：日接触率，i：病人比例，u：日治愈率，i0：病人比例在 t=0 时的值 dsolve(Di=a*i*(1-i)-u*i,i(0)=i0,t) % 求用 u 表示的 i—t 解析式 syms k % k：接触数 k=a/u; i=dsolve(Di=-a*i*i+a*i*(1-1/k),i(0)=i0,t) % 求用 k 表示的 i—t 解析式 % 给 k、a、i0 指定特殊值，作出相关图像 y=subs(i,{k,a,i0},{2,0.3,0.02}); %①k1 的情况，以 k=2 为例 ezplot(y,[0,100]) pause %作 i—t 图，分析随时间 t 的增加, i 的变化 gtext(1/k) 精品文档 精品文档 legend(k1 本例中 k=2) figure i=str2double(i); i=0:0.01:1; y=-0.3*i.*[i-1/2]; plot(i,y) %作 di/dt—i 的图像 gtext(1-1/k,在此图中为 0.5) legend(k=2) y=subs(i,{k,a,i0},{0.8,0.3,0.02}); %②k1 的情况，以 k=0.8 为例 ezplot(y,[0,100]) legend(k1 本例中 k=0.8) figure i=str2double(i); i=0:0.01:1; y=-0.3*i.*[i-(1-1/0.8)]; plot(i,y) legend(k=0.8) gtext(k=1 时的情况) SIS 模型的 di/dt—i 曲线 （k1） 精品文档 %作 i—t 图，分析随时间 t 增加，i 的变化 %作 di/dt—i 的图像 SIS 模型的 i—t 曲线（k1） 精品文档 SIS 模型的 di/dt—i 曲线 （k1） SIS 模型的 i—t 曲线（k1