Ising模型简述资料.docx

精品文档 精品文档 精品文档 精品文档 Ising 模型简述 Lenz 曾向他的学生 Ising 提出一个研究铁磁性的简单模型，而 Ising 于 1925 年发表了他对此模型求解的结果，所以这个模型被称为 Ising 模型。当时 Ising 只做出了该模型一维下的严格解，在一维情况下并没有自发磁化的发生。另外他还由此错误地推断出在更高维的情况下，这个模型也不存在自发磁化。这个推断在后来被证明是错误的。1936 年 Peierls 论证了二维或三维的 Ising 模型存在着自发磁化，虽然当时他并没有能够给出模型的严格解。1944 年，当 Onsager 给出了二维 Ising 模型的严格解之后，Ising 模型开始引起人们广泛的关注。这次求解是相变理论发展上的一个重要进展，它第一次清楚地证明了从没有奇异性的哈密顿量体系出发，在热力学极限下能导致热力学函数在临界点附近的奇异行为，而Onsager 本人也因此获得了诺贝尔奖。在此之后很多人又相继发表 Ising 模型的各 种不同解法，Baxter 甚至有篇论文叫‘Ising 模型的第 399 种解法。’ 但至今没有被 学术界公认的三维 Ising 模型精确解。甚至有人发表论文证明无法解出三维 Ising 模型的精确解，因为三维 Ising 模型存在拓扑学的结构问题。人们通常用分子场理论及其改进理论、高温级数展开、低温级数展开、重整化群理论、蒙特 -卡罗模拟等近似计算三维 Ising 模型的居里温度和临界指数，而其中 Wilson 于 1971 年发展的重整化群理论能以较高精度计算三维 Ising 模型的近似结果[18-20]。我国科学家张志东提出三维“Ising 模型”精确解猜想。张志东的出发点就是拓扑学中的一个常识：低维空间的扭曲和纽结可以被高一维空间的旋转打开。通过引入第四卷曲起来的维与本征矢量上的权重这两个猜想作为处理三维 Ising 模型拓扑学问题的边界条件，并应用这些猜想用自旋分析法评估了三维简单正交晶格Ising 模型的配分函数。当系统的对称性越高，居里温度也越高。他猜测三维系 统具有最高对称性的简单立方 Ising 模型具有最高的居里温度黄金解，在二维系统具有最高对称性的正方 Ising 模型具有最高的居里温度白银解。获得的结果具有一定的对称性和美学价值，并可部分返回到二维和一维的结果。当然，推定的精确解正确性取决于猜想的正确性，而且其与学术界通常接受的评价标准尚不完全吻合，有待于对相关的物理本质作进一步探讨。因此，这一工作目前还只是停留在猜想阶段。 今天的 Ising 模型根本不再是 Ising 博士论文中的模样。每年差不多有 6000 篇左右的论文研究这一模型。除了铁磁性之外，该模型还应用于很多方面，如合金中的有序-无序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结和蒸发、晶格气体、玻璃物质的性质，甚至于神经网络蛋白质折叠、生物膜场论甚至社会现象等广泛的领域。 通过上述介绍，我们知道三维 Ising 模型尚未得到严格解，而一维和二维情况下的解法确是多种多样的。在这里，我们将给出 Ising 模型的严格解，采用的是 1941 年 Kramers 和 Wannier 提出的转移矩阵方法(Transfer Matrix Method)。然后简要地说明二维 Ising 模型严格解的主要结果，并且同平均场理论所得的结果进行对比。 图 1.2 一维Ising 模型示意图。 对于如图 1.2 所示的 Ising 模型，自旋只能取向上或向下两个分量，它可以看作是 Heisenberg 模型的一种简化。当只考虑最近邻的交换相互作用，并认为这种相互作用在不同磁矩间是相同的，用常数 J 表示。和 Heisenberg 模型相同，当J0 时，代表铁磁的交换相互作用，它使得近邻自旋有着同方向排列的趋向；当J0 时，代表反铁磁的交换相互作用，它使得近邻自旋有着反方向排列的趋向。考虑到外加磁场的影响，系统的哈密顿量可以写为： H ? ?J ? s s i j ? ? h? s ， B i (1-14) i, j i iiBN+1 1其中 s 表示位于格点 i 处的自旋，其取值可为+1 和-1，分别代表自旋向上向下， 所以自旋 s 可以不再作为算符处理，所以 Ising 模型可以看作是一个准经典的模型。J 是交换相互作用常数，这里我们采用 J0 代表铁磁相互作用，? 为 Bohr 磁矩，h 是外磁场。对于一维情况，每个自旋只有两个近邻。现在采用周期性边界条件，即 s =s ，N 为晶格中的自旋数目。现将一维晶格弯成一个环，当 N?? 时，边界效应将不会影响到体系的热力学性质。根据如上的条件，可将哈密顿量 i i B N+1 1 H ? ?J ? s s ? Bh ??s ? s ?，  (1-1