常用拉普拉斯变换总结.docx

常用拉普拉斯变换总结 1、指数函数 ? 0 f (t) ? ? ??  t ? 0  ，其中，A 和 a 为常数。 ?Ae t t ? 0 L[ Ae??t ] ? ?? Ae??te?st dt ? A?? e?(? ? s )t dt ? A 0 2、阶跃函数 ?0 f (t) ? ? ?A  t ? 0 t ? 0  0 ，其中，A 为常数。 s ?? L[ A] ? ?? Ae?st dt ? A 0 s 3、单位阶跃函数 ?0 u(t) ?? ?1 L [ u ( t )] ? 4、斜坡函数 t ?0 t ?0 1? ? e ? st d t ? 1 0 s ? 0 f ( t ) ? ? ? At t ? 0 e? stst ? 0 e? st s L[ At] ? ?? Ate? st dt ? At ? ? ?? Ae? st dt 0 ? A ?  0 ? e ? st d t ? 0 ? s A s 0 s 2 0 0A＝1 时的斜坡函数称为单位斜坡函数，发生在t=t 时刻的单位斜坡函数写成r（t-t ） 0 0 5、单位斜坡函数 ?0 f (t) ? ? ?t  t ? 0 t ? 0 L[t] ? ?? te? st dt ? t e? st ? ? ? ? e? st dt 0 ? s 0 0 ? s ? 1 ? ? e?st dt ? 1 s 0 s 2 6、正弦函数 ? 0 ?f (t) ? ?Asin? t ? f (t )  t ? 0 ?，其中A 为常数。 ? t 0 f (t ) 0 t (a) 0 t (b) 图 2.3 正弦函数和余弦函数 根据欧拉公式： 拉式变换为： sin ? t ? 1 ( e j? t ? e ? j? t ) 2 j L[Asin?t] ? A ? ?(ej?t 2 j 0 ?e? j?t )e?stdt ? A 1 ? A 1 ? A? 2 j s ? j? 2 j s ? j? s2 ??2 同理余弦函数的拉式变换为： L[ A cos?t] ? 7、脉动函数 ? A As s2 ? ?2 ?f (t) ? ?t ? 0 ? t ? t 0  ，其中，A 和 t  为常数。 ?? 00 0 t ? 0, t ? t 0 00 0脉动函数可以看做是一个从 t＝0 开始的高度为 A/t 的阶跃函数，与另一个从 t＝t 开始的高度为 A/t 0 0 0 f (t) ? A u(t) ? t 0 A u(t ? t ) t 0 0 ? A ? ? A ? L[ f (t)] ? L? u(t)? ? L? u(t ? t )? ?00t ? ?t 0 ? ? 0 0 A A0? ? e? A A 0 ? (1? e?st ) A0t s t s t s A 0 0 0 0 8、脉冲函数 脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。 ??lim A ???0g(t) ? ? ? ??0 ? 0 0 ? t ? ? t ? 0, ? ? t ? ??s ? ??s ? ? L[g(t)] lim? (1 e?s? )? d ? d ? ? ? lim  A(1? e?s? ) Asd? ? ? A As ??0 d d? 9、单位脉冲函数 ??s? s 当面积A=1 的脉冲函数称为单位脉冲函数，或称为狄拉克(Disac)函数， ?? (t ? t ) ? ? 0 ? 0 ? t ? t 0 ? ? ? ? (t ? t )dt ? 1 -? 0 t ? t 0 量值为无穷大且持续时间为零的脉冲函数纯属数学上的一种假设，而不可能在物理系统中发生。但是，如果系统的脉动输入量值很大，而持续时间与系统的时间常数相比较非常小时，可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。 当描述脉冲输入时，脉冲的面积大小是非常重要的，而脉冲的精确形状通常并不重要。脉冲输入量在一个无限小的时间内向系统提供能量。 单位脉冲函数? (t ?t ) 可以看作是单位阶跃函数u（t-t ）在间断点 t=t 上的导数，即 0 0 0 ? (t ? t 0 ) ? d u(t ? t ) dt 0 相反，如若对单位脉冲函数? (t ?t ? t ? (t ? t )dt ?u(t ? t ) t0 0 0 ) 积分： 0 积分的结果就是单位阶跃函数 u（t-t0） 利用脉冲函数的概念，我们可以对包含不连续点的函数进行微分，从而得到一些脉冲， 这些脉冲的量值等于每一个相应的不连续点上的量值。 10、加速度函数 ?At 2 f (t) ? ? ? 0 拉氏变化为： t ? 0 t ? 0  ，其中，A 为常