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复变函数与积分变换;复变函数与积分变换的主要内容;第一章 复变函数与解析函数;§1.1 复 数;1.1.1 复数的概念;;显然, z=x+iy 是 x-yi 的共轭复数, 即 ;1.1.2 复数的四则运算;(2) 复数的积;2. 结合律 ;解;例 1.2;例1.3 设z1, z2是两个复数, 证明 ; 给定一复数z=x+yi, 在坐标平面XOY上存
在惟一的点P(x,y)与z=x+yi对应. 反之, 对XOY
平面上的点P(x,y), 存在惟一的复数z=x+yi与它
对应. 根据复数的代数运算及向量的代数运算
的定义知这种对应构成了同构映射. 因此可以
用XOY平面上的点表示复数z.; 显然, 实数与x轴上的点一一对应, 而x轴以外的点都对应一个虚数, 纯虚数 与y轴上的点(除原点)对应. 因此, 称x轴为实轴, y轴为虚轴. ; 这时复数加、减法满足向量加、减法中的平
行四边形法则.; 如果点P不是原点(即 ), 那么把 x 轴正向与向量 的夹角 q 称为复数 z 的辐角, 记做Argz. ;有时, 在进行说明后, 把主辐角定义为满足; 当 时, 有;当 ;复数和与差的模的性质;1.1.4 乘幂与方根;于是;两个复数相乘的几何意义;利用数学归纳法可以证明:如果 ;如果写成指数形式,即如果 ;称为De Moivre公式. ;则;方根, 记做 或 如果 ;满足以上三式的充分必要条件是;由三角函数的周期性; 可见, 除w0,w1,···,wn-1外, 均是重复出现的, 故;例1.4 求方程 w4+16=0的四个根. ;w1, w2, w3, w4恰好是以原点为圆心、半径为2的圆; 复数可以用平面上的点表示,这是复数的几
何表示法的一种,另外还可以用球面上的点表示
复数. ; 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内
的点之间存在着一一对应的关系. 我们用球面
上的点来表示复数.; 规定: 复数中有一个唯
一的 “无穷大” 与复平面上的无穷远点相对应, 记作 ?. ; 对于复数的无穷远点而言, 它的实部、虚部,
辐角等概念均无意义, 规定它的模为正无穷大.;§1.2 平 面 点 集;1.2.1 区域; 满足不等式|z|R (R0)的一切点(包括无穷
远点)的集合称为无穷远点的邻域. ;3. 外点;即对任意的r 0, 存在 z1, z2?B(z0,r), 满足 ; 例1.5 设z0是定点, r 0是常数, 则z0为中心,
以r为半径的圆的内部点, 即??足不等式 |z-z0|r
的一切点z所组成的点集 (z0的r邻域) 是开集. ; 在圆周|z-z0|=r和圆周|z-z0|=R上的点都是点
集 r|z-z0|R和 r|z-z0|?R 的边界点. ; (2) D内的任何两点z1和z2都可以用一条完全
在D内的折线, 把z1和z2连接起来(具有这个性质
的点集叫做连通的). ;为闭区域, 记做 ;;1.2.2 Jordan曲线、连通性; 曲线C 在复平面上的参数方程不仅确定了
曲线的形状, 实际上还给出了曲线的方向, 也就
是说, 曲线是沿着t 增加的方向变化的. ;对曲线C的参数方程; 如果曲线C: z=z(t) (a?t?b) 除起点与终点外无
重点,即除 t1=a, t2=b 之外, 如果t1?t2, 有z(t1)?z(t2),
则称曲线C是简单曲线. ;下列曲线是否为简单闭曲线?;关于曲线方向的说明:; Jordan曲线C有两个方向, 当点z沿着C 的
一个给定方向变化时, 若C的内部出现在点z前
进方向的左侧, 就规定这个方向是正的; 否则
就说是负的. ; 对于圆周曲线可以简单地说, 逆时针方向
为曲线的正向, 顺时针方向为曲线的负向. ;;(3) 单连通区域与多连通区域; 练习 1 指出下列不等式所确定的点集, 是否有
界? 是否区域? 如果是区域, 单连通的还是多连通的?;是角形域, 无界的单连通域(如图).; 练习 2 满足下列条件的点集是否区域? 如果
是区域, 是单连通区域还是多连通区域?;它是多连通区域.;§1.3 连续函数;1.3.1 复变函数的定义;是定义在C \{0}上的多值函数. ;反函数的定义; 定义1.2 设复变函数
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