差分格式分析和总结.docx

PAGE PAGE 10 §1. 差分 一阶导数的差分近似（差商） 导数的定义： f ￠(x )= 0  lim x ? x0 f (x )- f (x ) 0 x - x 0 导数的近似： f ￠(x )? f (x 1 )- f (x ) 0  （当 x 与 x  足够接近时） 0 x - x 1 0 1 0 这样的表达式称为差商，它可作为导数的近似，称为导数的差分近似。 误差分析 － 泰勒展开：将 f (x ) 在 x 处做泰勒展开，有 1 0 f (x 1 )= f (x 0 )+ f ⅱ(x 0 )(x 1 - x )+ 0 1 f ?(x 2 0 )(x 1 - x )2 + L 0 于是 f (x f (x )- 1 x - 1 f (x ) 0 x 0 f ￠ x - 0 = x - x 1 0 各种差分近似： 取 h 0 （称为步长），则可以有 向前差分近似（相当于取 x 1 = x + h x ） 0 0 f ￠(x )? 0 f (x 0 + h )- f (x ) 0 h 向后差分近似（相当于取 x 1 = x - h x ） 0 0 f ￠(x )? 0 f (x 0 )- f (x 0 h - h ) 中心差分近似（前差近似与后差近似的算术平均） f ￠(x )? 0 f (x 0 + h )- f (x 0 2h h ) 差分近似的一般形式 差分近似的一般形式可写成 f ￠(x 0 )? 1 é h ? - m f (x - m ) L + c - 2 f (x - 2 )+ c - 1 f (x ) - 1 êc+ c f (x êc n n ? + c f (x 1 1 )+ c 2 f (x 2 )+ L + c n f (x )ùú 或简写为  f ￠(x )? 1 0 h  ? n j = - m  c f (x ) j j 称为一阶导数 f ￠(x ) 的一个 m + n + 1 点差分近似。这里 0 x = x j 0 + jh ( j = - m , L , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , L , n) 差分近似的精度 ： 阶定义：若 ￠( ) 1 ? n ( ) ( ) f x - c f x = hp 0 h j j j = - m 则称表达式 1 ?n h j = - m c f (x j j ) 是一阶导数 f ￠(x ) 的 p 0  阶差分近似。 例：通过误差分析，上面给出的向前和向后差分近似都是一阶的，而中心差分近似是二阶的。中心差分近似的精度较高。 差分近似的分类 若 m = n ，则 若 m 1 n ，则 1 ?m h j = - m 1 ?n h j = - m c f (x j j c f (x j j ) 称为中心差分近似； ) 称为偏心差分近似，特别是 若 m = 0 ，则 1 ? n h j = 0 c f (x j j ) 称为向前差分近似（前差近似）； 若 n = 0 ，则 1 ?0 h j = - m c f (x j j ) 称为向后差分近似（后差近似）。 待定系数法 构造导数的差分近似可用待定系数法。 【例 1】用 x 、x 、x 、x 四点构造一阶导数 f ￠(x ) 的差分近似。 - 1 0 1 2 0 【解】由泰勒展开，有 f (x - 1 )= f (x 0 )- hf ⅱ(x 0 )+ 1 h 2 f 2 ⅱ(x )- 0 1 h 3 f 6 ⅱ(x )+ 0 1 h 4 f (4) 24 (x )- L 0 f (x 1 )= f (x 0 )+ hf ⅱ(x )+ 0 1 h 2 f ⅱ(x )+ 2 0 1 h 3 f 6 ⅱ(x )+ 0 1 h 4 f 24  (4) (x )+ L 0 f (x 2 )= f (x 0 )+ 2hf ⅱ(x 0 )+ 2h 2 f ⅱ(x )+ 0 4 h 3 f ⅱ(x )+ 3 0 2 h 4 f 3  (4) (x )+ L 0 将这些展开式带入所求得差分近似，得 1 (c f h - 1 - 1 + c f 0 0 + c f 1 1 + c f )= 2 2 1 (c + c h - 1 0 + c + c 1 2 )f (x ) 0 + (- c - 1 + c + 2c 1 2 )f ￠(x ) 0 + 骣?1 c + ?桫2 - 1 1 c + 2c 2 1 ÷hf ⅱ(x ) 2 ÷ 0 ?骣 1 1 4 ÷ ⅱ?( ) + ?- c + c