数学56《解斜三角形》教案.docx

5.6 (3) 解斜三角形 上海市杨浦高级中学 杨玉珠 一、教学内容分析 本节课是高中数学第五章三角比中第三单元的第三节课，学生已在前两节学习了正弦定理和余弦定理， 知道了任意三角形的边角满足的数量关系式，这节课是利用这两个定理来解决实际生活的相关问题. 本小节的重难点是如何利用正弦定理、余弦定理来解决斜三角形，能够正确审题，将实际问题数学化 是关键.通过本节课的学习更加明确数学来源于生活，又服务于生活. 二、教学目标设计 加深理解正弦定理和余弦定理的内容：任意三角形的边角数量关系及其应用.体验正弦定理、余弦定理 解决实际问题的过程； 深刻理解任意三角形的边角数量关系并灵活运用定理解三角形；通过实际问题的解决，感受数学与生活的密切关系，激发学习数学的热情，增强学习数学的动力. 三、教学重点及难点教学重点 用正弦定理、余弦定理解斜三角形问题. 教学难点 用适当的方法解斜三角形及计算问题. 四、教学流程设计 复习回顾加深与理解 五、教学过程设计 运用(例题解析、巩固练习) 一、复习引入 a b c 1、正弦定理及其变形： 在课?A堂B小C 结中并有布：置作业= = sin A sin B sin C a ： b ： c = sin A : sin B : sin C 2、正弦定理的两个应用： 已知三角形中两角及一边，求其他元素； 已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素. 3、余弦定理及其变形：在?ABC 中有： a 2 ? b 2 c 2 2bc cos A b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C cos A ? b 2 ? c 2 ? a 2 , cos B ? c 2 ? a 2 ? b 2 , cos C ? a 2 ? b 2 ? c 2 . 2bc 2ac 2ab 4、 余弦定理的两个应用： 已知两边和它们的夹角，求其他的边和角； 已知三边，求三个内角. [说明]学生回答. 二、学习新课 1、例题解析 a ?b ?c 例 1、已知? ABC 中， ? A ? 600， a ? 3 ,求sin A ? sin B ? sinC a ? b ? c ? k(ko) 解：设sin A sin B sinC 则有a ? ksinA ， b ? k sinB ，c ? ksinC 从而 a ?b ?c ? k sin A ? k sin B ? k sinC ? k sin A ? sin B ? sinC sin A ? sin B ? sinC a ? 3 ? 2 ? k a ?b ?c 又sin A sin60 0 ，所以 sin A ? sin B sinC ? 2 a ? b ? c ? [说明]在 ? ABC 中，等式 sin A sin B sinC a ?b ?c ? k ?k ? 0?恒成立. sin A ? sin B ? sinC 这个 k 是 ? ABC 的外接圆直径,即 k=2R. 例 2、在?ABC中，c ? 4 3, a ? 2 6, b ? 6 ? 2 3，求A, B, C 解：由已知， a ? c ? b, 得 B 最大，由余弦定理得 cos B ? ? 6 ? 2 c sin B 2 ? 0,? B ? 1050,再由正弦定理得，sin C ? ? 4 b 2 又b ? c,?C ? 450 ,于是A ? 300 C ? 450 B ? 1050 例 3 如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为 60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为 1.95m，AB 与水平线之间的夹角为 6°20′，AC 长为 1. 40m，计算BC 的长（保留三个有效数字）． C [说明] 最大仰角是车厢立起的最大角度． 解：已知△ABC 的两边AB＝1.95m，AC＝1.40m，夹角A＝66°20′， 由余弦定理，得  60 A 6 20? B 答：顶杆 约长 1.89m. [说明] 由学生解答，教师巡视并对学生解答进行讲评小结． 例 4、如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB 绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在A 处，设连杆AB 长为 340mm， 由柄CB 长为 85mm，曲柄自CB 按顺时针方向旋转 80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A 移动的距离 ）（精确到 1mm） [说明]： B 与 B 0 重合时， A 与 A 0 重合，故 A 0 C ＝AB＋CB＝425mm，且 A 0 A ＝ A 0 C －AC． 解：已知△ ABC