数学必修五 第三章 不等式 知识点总结教学教材.docx

数学必修五 第三章 不等式 一、知识点总结： 1、 比较实数大小的依据：①作差： a ? b ? 0 ? a ? b ； a ? b ? 0 ? a ? b ； a ? b ? 0 ? a ? b ；变形的方向是化成几个完全平方的形式或一些容易判断符号的因式积的形式，变形时常用因式分解、配方、通分、分子（或 分母）有理化等方法，注意完全平方、平方差、立方差、立方和公式的应用。②作商： a ? 0,b ? 0 时, a ? 1 ? a ? b , a ? 1 ? a ? b , a ? 1 ? a ? b ； b b b a ? 0,b ? a 0 时， ? 1 ? a ? b , a ? 1 ? a ? b , a ? 1 ? a ? b 2、 不等式的性质 b b b 性质 具体名称 性质内容 注意 1 对称性 a ? b ? b ? a ? a ? b, b ? c ? a ? c ? 2 传递性 a ? b, b ? c ? a ? c 等号传不过来 3 可加性 a ? b ? a ? c ? b ? c ? 4 可乘性 a ? b, c ? 0 ? ac ? bc a ? b, c ? 0 ? ac ? bc c 的符号 5 同向可加性 a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ? 6 同向同正可乘性 a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ? 7 可乘方性 a ? b ? 0 ? an ? bn (n ? N*) 同正 8 可开方性 a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N *, n ? 2) 同正 9 倒数性质 a ? b, ab ? 0 ? 1 ? 1 ab ? 0 ab3、一元二次不等式的解法步骤：①将不等式变形，使一端为 0 且二次项的系数大于 0；②计算相应的判别式；③当? ? 0 时，求出相应的一元二次方程的根；④根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集。（大于 0 取两边，小于 0 取中间）.含参数的不等式如ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 解题时需根据参数的取值范围依次进行分类讨论：①二次项系数的正负；②方程ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 中? 与 0 的关系；③方程ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) a b 4、一元二次方程根的分布：一般借助二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的等价条 件，常常用以下几个关键点去限制：（1）判别式；（2）对称轴；（3）根所在区间端点函数值的符 号。设 x , x 是实系数一元二次方程ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个实根，则 x , x 的分布情况列表如下： 1 2 1 2 根的分布二次函数的图象 根的分布 二次函数的图象 等价条件 x ? k ? x 1 f (k ) ? 0 2 ? f (k ) ? 0 ??x ? x ? k ? ? 1 2 ? b ? k （ x , x 均小于k时 ? ? 0 ） ? 2a 1 2 ??? ? 0 ? f (k ) ? 0 ??k ? x ? x ? ? 1 2 ? b ? k （ x , x 均大于k时 ? ? 0 ） ? 2a 1 2 ??? ? 0 ? f (k ) ? 0 ? 1 k ? x ? x ? k 1 1 2 2 f (k ) ? 0 ? 2 ? b （ x , x 1 2 ? (k , k 1 2 )时 ? ? 0 ） ?k ? ? ? k ? 1 2a 2 ? ? ?? 0 ? f (k ) ? 0 ? 1 k ? x ? k 1 1 2 ? x ? k 2 3 ? f (k ? 2 ) ? 0 ?f (k ) ? 0 ? 3 f (k 1 ) f (k 2 ) ? 0 或 x , x (x ? x ) 中有且仅有  f (k ) ? 0, k ? ? b ? k ? k2 或 1 2 1 2 一个在(k , k ) 内 1 2 1 1 2a 2 11f (k ) ? 0, k ? k2 ? ? b ? k 1 1 2 2 2a 2 5、一元高次不等式 f (x) ? 0 常用数轴穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤如下：①将 f (x) 最高次项的系数化为正数；②将 f (x) 分解为若干一次因式或二次不可分解因式的积；③将每一个根标在数轴上，从右上方向下依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿又过）；④根据曲线显现出的符号变化规律，写出不等式的解集。 6、简单的线性规划问题的几个概念：①线性约束条件：由关于 x, y 的二元一次不等式组成的不等式组是对 x, y 的线性约束条件；②目标函