数学的建模地的题目目及答案详解.docx

实用标准文档 精彩文案 精彩文案 09 级数模试题 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15 分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。因此对这个问题我们假设 ： 地面为连续曲面 长方形桌的四条腿长度相同 相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在 A、B、C、D 处，A、B,C、D 的初始位置在与 x 轴平行，再假设有一条在 x 轴上的线 ab,则 ab 也 与 A、B，C、D 平行。当方桌绕中心 0 旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为? 。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 f (? ) 为 A、B 离地距离之和， g (? ) 为 C、D 离地距离之和，它们的值由? 唯一确定。由假设（1）， f (? ) , g (? ) 均为? 的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地，故 f (? ) g (? ) =0 必成立（ ? ? ）。 不妨设 f (0) ? 0 , g (0) ? 0 g（若 g(0) 也为 0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归 结为： 已知 f (? ) , g (? ) 均为? 的连续函数， f (0) ? 0 , g(0) ? 0 且对任意? 有 f (? )g(? ) ? 0 ，求证存 0 0 在某一? 0 ，使 f (? 0 )g(? 0 ) ? 0 。 证明：当θ=π时，AB 与 CD 互换位置，故 f (? ) ? 0 ，g (? ) ? 0 。作 h(?) ? f( ?) ?g( )? ，显然，h(? ) 也是? 的连续函数， h(0) ? f (0) ? g(0) ? 0 而 h(?) ? f (?) ? g(?) ? 0 ，由连续函数的取零值定 理，存在? 0 ，0 ? ? 0 ? ? ，使得 h(? ) ? 0 ，即 f (? 0 0 ) ? g(? 0 ) 。又由于 f (? 0 )g(? 0 ) ? 0 ，故必有 f (? ) ? g(? ) ? 0 ，证毕。 0 0 学校共 1000 名学生，235 人住在 A 宿舍，333 人住在 B 宿舍，432 人住在 C 宿舍。学生 们要组织一个 10 人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15 分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为 x 人，B 宿舍的委员数为 y 人，C 宿舍的委员数为 z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进 1，其余取整数部分。则 x+y+z=10； x/10=235/1000； 0 x 10y/10=333/1000； z/10=432/1000； 0 x 10 0 z 100 y 10，x,y,z 为正整数； 0 z 10 0 y 10 解得：x=3 y=3 z=4 一饲养场每天投入 5 元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头 80 公斤重的生猪每 天增加 2 公斤。 目前生猪出售的市场价格为每公斤 8 元，但是预测每天会降低 0.1 元，问该场应该什么时候出售这样的生猪可以获得最大利润。（15 分） 解：设在第 t 天出售这样的生猪（初始重 80 公斤的猪）可以获得的利润为 z 元。每头猪投入：5t 元 产出：（8-0.1t）（80+2t）元 利润：Z = 5t +（8-0.1t）（80+2t）=-0.2 t^2 + 13t +640 =-0.2（t^2-65t+4225/4）+3405/4 当 t=32 或 t=33 时，Zmax=851.25(元) 因此，应该在第 32 天过后卖出这样的生猪，可以获得最大利润。 一奶制品加工厂用牛奶生产 A1，A2 两种奶制品，1 桶牛奶可以在设备甲上用 12 小时加工成 3 公斤 A1， 或者在设备乙上用 8 小时加工成 4 公斤 A2。根据市场需求，生产的A1，A2 全部能售出，且每公斤A1 获利24 元，每公斤 A2 获利 16 元。现在加工厂每天能得到 50 桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为 480 小时，并且设备甲每天至多能加工 100 公斤 A1，设备乙的加工能力没有限制。（1）试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大。（2）33 元可买到 1 桶牛奶，买吗？（3）若买，每天最多买多少?（4）可聘用临时工人，付