广义初等变换和广义初等矩阵课件.pptxVIP

§ 6 广义初等变换和广义初等矩阵 一、概念 二、应用 1 一、概念 我们将初等变换和初等矩阵的概念推广到分块矩阵上 定义6.1 称分块矩阵的下列三种变换依次为广义换法、 广义倍法、广义消法变换： 1)对换分块矩阵两行(两列)的位置； 2)用可逆矩阵C左乘(右乘)分块矩阵的某一行(列)； 3)用矩阵K左乘(右乘)分块矩阵的某一行(一列)加 到另一行(列)上. 2 命题6.1 广义初等变换不改变矩阵的秩，特别地，广 义初等变换不改变矩阵的可逆性. 命题6.2 广义消法变换不改变行列式的值. 命题6.3 若分块矩阵A经广义行初等变换化为单位矩阵 E，将这些初等变换依次作用在分块单位矩阵E上， E就 变成了 . 3 定义6.2 将分块的单位矩阵 经一次广义初等变换化成的矩阵称为广义初等矩阵，其 中 是 级单位矩阵. 易知广义初等矩阵有三种类型： 1.广义换法矩阵 4 级单位矩阵， 其中， 5 . 2)广义倍法矩阵 级单位矩阵， 其中 6 . 3)广义消法矩阵 级单位矩阵， 其中 7 命题6.4 广义初等矩阵是可逆的，其逆仍是同类型的 广义初等矩阵. 易知广义初等变换与广义初等矩阵的关系仍然符合八字 规则“左行右列，首尾为主” 二、应用 例1、设A，D可逆，求 的逆矩阵. 8 解 设A，D分别是 阶可逆矩阵，由 故 9 例2 证明行列式乘法公式 . 证明 设A、B为n级方阵，由 故 用Laplace 定理将行列式按前n行展开，得 10 ， 则存在下三角矩阵 证明 对n作归纳法． 当n=1时， 为上三角形． ，使BA为上三角形矩阵． 例 3 设 11 满足题设条件，由归纳假设，存在 矩阵 ， 满足 为上三角形矩阵．将A分块 假设n－1时命题成立. 因为 12 再作 则 13 B为所求. 由归纳原理，结论成立. 上式右端为上三角形矩阵.将两次乘法结合起来得到 14