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随机变量及其分布函数
将随机事件以数量来标识,即用随机变量描述随机现象的研究方法,它是定义在样本空间上具有某种可预测性的实值函数。
分布函数则完整的表述了随机变量。
随机变量与分布函数
随机变量:
取值依赖于某个随机试验的结果(样本空间),并随着试验结果不同而变化的变量,称之为随机变量。
分布函数:
定义:
离散型随机变量X取连续点的时候,分布函数均为0,即概率为0;连续型随机变量的分布函数在定义域内任意取值,其分布函数都为0,即概率为0.设X是一个随机变量,对任意实数x,记作 ,称为随机变量X的分布函数,又称随机变量X服从分布,显然,函数的定义域为,值域为。
离散型随机变量X取连续点的时候,分布函数均为0,即概率为0;连续型随机变量的分布函数在定义域内任意取值,其分布函数都为0,即概率为0.
性质:
?单调非降。
?、。
?,即一定是右连续的。
?对于任意两个实数,
?对于任意实数,
?
?
?
离散型随机变量与连续型随机变量
离散型随机变量
概念:设X是一个随机变量,如果X的取值是有限个或者无穷可列个,则称X为离散型随机变量。其相应的概率称为X的概率分布或分布律,表格表示形式如下:
X
……
P
……
性质:
?
?
?分布函数
?
连续型随机变量
概念:如果对于随机变量的分布函数,存在非 负的函数 ,使得对于任意实数x,均有:
则称X为连续型随机变量,称为概率密度函数或者密度函数。
连续型随机变量的密度函数的性质
?
?
?
?若在x点连续,则
连续型随机变量和离散型随机变量的区别:
由连续型随机变量的定义,连续型随机变量的定义域是 ,对于任何x,;而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间断点,其图形呈阶梯形。
概率密度一定非负,但是可以大于1,而离散型随机变量的概率分布不仅非负,而且一定不大于1.
连续型随机变量的分布函数是连续函数,因此X取任何给定值的概率都为0.
对任意两个实数,连续型随机变量X在a与b之间取值的概率与区间端点无关,即:
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