数学53《同角三角比的关系与诱导公式》教案.docx

5.3（2）同角三角比的关系与诱导公式 上海市杨浦高级中学 江海涛 一、教学目标设计 掌握诱导公式的推导方法和记忆方法； 会运用这些公式求解任意角的三角比的值，会由三角比的值，求特殊角，并会化简单的三角比的关系式； 通过公式的探求与应用培养思维的严密性. 三、教学重点及难点 重点：诱导公式 复习公式一引入根据三角比的定义和单位圆公式二、三运用化归思想由 复习公式一引入 根据三角比的定义 和单位圆公式二、三 运用化归思想由 公式三导出公式四 课堂小结， 布置作业 课堂练习 例题分析，运用诱导公式求值、化简及给值求角 设计 一、 复习引入 1．公式一：  sin(2k? ? ?) ? sin? cos(2k? ? ?) ? cos? tan(2k? ? ?) ? tan? 五、教学过程 cot(2k? ? ?) ? cot? （其中k ? ? ） 用角度可写成： sin(k ? 360? ? ?) ? sin? cos(k ? 360? ? ?) ? cos? tan(k ? 360? ? ?) ? tan? cot(k ? 360 ? ?) ? cot? （其中k ? Z ） 2 ．讨论 公式一的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0o―360o之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先 在 0o―360o内找出与角? 终边相同的角，再把它写成诱导公式一的形式，然后得出结果. 这组公式可以统一概括为 f (? ? 2k? ) ? f (?)(k ? Z) 的形式，上述一组公式叫做任意角三角比的第一组诱导公式，其特征是：等号两边是同名三角比，且符号都为正. 说明]运用公式时，注意“弧度”与“角度”两种度量制不要混用，如写成sin(80? ? 2k? ) ? sin 80? ， ? cos( 3 ? k ? 360? ) ? cos ? 3  是不对的． yP(x,y) y P(x,y) ? M O ? ? x P’(x，-y) 公式推导 公式二： sin(??）? -sin? cos(??）? cos? 它说明角- ? 与角? 的正弦值互为相反数，而它们的余弦值相等．这是因为，若角? 的终边与单位圆交于点P(x，y)，则角-? 的终边与单位圆的交点必为P′(x，-y)（如图 1）．由正弦、余弦三角比的定义， 即可得 sin? =y， cos? =x, sin(- ? )=-y, cos(-? )=x, 所以：sin(-? )= -sin? , cos(-? )= cosα 由三角比的商数关系，得： tan(??) ? sin(??) ?  sin?  ? ? tan? 即 tan(??）? ?tan? 类似可得cot(??) ? ? cot? cos(??) cos? 这组公式叫任意角三角比的第二组诱导公式 练习：求? ? 3  的正弦、余弦、正切和余切的值. [说明]公式二也可以由特殊到一般，既从特殊三角比的计算，猜测出公式，再证明. 公式三： 用角度可表示如下： sin(? ? ?）? -sin? sin(180? ? ?）? -sin? cos(? ? ?）? -cos? cos(180? ? ?）? -cos? tan(? ? ?）? tan? tan(180? ? ?）? tan? cot(? ? ?) ? cot? cot(180? ? ?) ? sin?  P(x,y) M  y ?180 ? ? ? ? M’ O  x P’(-x，-y) 它刻画了角 180o+? 与角? 的正弦值（或余弦值）之间的关系，这个关系是：以角? 终边的反向延长线为终边的角的正弦值（或余弦值）与角? 的正弦值（或余弦值）是一对相反数．这是因为若设? 的终边与单位圆交于点 P( x，y)，则角? 终边的反向延长线，即 180o+? 角的终边与单位圆的交点必为P′(-x， -y)（如图 2）．由正弦、余弦三角比的定义，即可得sin? =y， sin(180o+? )=-y, cos(180o+? )=-x, 所以 :sin(180o+? )=-sin? ，cos(180o+? )=-cos? ． cos? =x, [说明]公式二、三的获得主要借助于单位圆及正弦、余弦比的定义．根据点P 的坐标准确地确定点 P′的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质．直观的对称形象为我们准确写出P′的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性. 练习：求下列三角比的值： （1） cos 210? ； (2) sin 5? 4 分析：本题是诱导公式二的巩固性练习题．求解时，只须设法将所给角分解成180o+? 或（π +? ）， ? 为锐角即可． 3解：（1）cos210o=cos(180o+30o)=－cos30o=－ 2 ；