正交矩阵及其性质.pptxVIP

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4.3正交矩阵及其性质; 定义6 设A为n阶方阵,如果ATA=I或AA?=I, 就 称A为正交矩阵.(A-1=A7) 定理4 A 为n 阶正交矩阵的充分必要条件是A 的列(行)向量组为R的一组标准正交基. 证 设; 因此ATA=I 的充分必要条件是 dq=(qqo=1 i=12-- 且 =(q9=0 j≠,ij=12--,n 的 向 疑 组 , 3 获 勺 一 一 组 标 准 正 交 基 此定理可作为判定正交矩阵的一种方法; 定理5 设A,B皆是n 阶正交矩阵,则: (i) detA=1或-1; (ii) A-1=AT (充要条件) ; (iii)AT(即A-1)也是正交矩阵; (iv)AB 也是正交矩阵. 工证 (i) det(ATA)=det(I)=1=(det(A)2,所以成立, (ii)ATA=I,当然就是A-1=AT, (iii)(AT)TAT=AAT=AA-1=I,所以AT(即A-1)也 是正交矩阵,从而A的行向量组也是R的一组标 准正交基, (iv)由(AB)T(AB)=BT(ATA)B=BTB=I, 即得 AB 也是正交矩阵.; 定理 方阵A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列 向量构成标准正交组。 二推论1 方 阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行 向量构成标准正交组。 A 是正交矩阵? A=A1? A 是正交矩阵; 求三维向量a 使得矩阵 (q,α,α) 为正交矩阵 解 α=(x;y;z? αi,α?,C 是 标 准 正 交 组 α? α=0 α? α=0 ; 称为正交变换。 定 理 正交变换不改变向量的内积,从而不改变 向量的模、夹角和距离。

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