2024届数学试卷：导数各类题型方法总结.docVIP

导数各种题型方法总结 一 、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令f(x)=0 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(0,=0,0) 第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元) 例1:设函数y=f(x) 在区间D 上的导数为f(x),f(x)在区间D 上的导数为g(x), 若在区 间D 上，g(x)0 恒成立，则称函数y=f(x) 在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数， (1)若y=f(x) 在区间[0,3]上为“凸函数”,求m 的取值范围； (2)若对满足|m≤2 的任何一个实数m, 函数f(x)在区间(a,b)上都为“凸函数”,求b-a 的 最大值. 解由函数 得 ∴g(x)=x2-mx-3 (1)∵y=f(x) 在区间[0,3]上为“凸函数”, 则 ∴g(x)=x2-m x-30 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于gm(x)0 解法二：分离变量法： ∵ 当x=0 时，∴g(x)=x2-mx-3=-30 恒成立， 当Ox≤3 时，g(x)=x2-mx-30 恒成立 的最大值( Ox≤3 ) 恒成立， )是增函数，则h(x)=h(3)=2,∴m2 (2)∵当|m≤2 时 f(x) 在 区 间(a,b) 上都为“凸函数”,则等价于当|m≤2 时 g(x)=x2-mx-30 恒成立 变更主元法 再等价于F(m)=mx-x2+30 在 m| |≤2恒成立(视为关于m 的一次函数最值问题) ∴b-a=2 (I) 求函数f(x) 的单调区间和极值； (Ⅱ)若对任意的x∈[a+1,a+2],不等式|f(x)|≤a恒成立，求a的取值范围. (二次函数区间最值的例子) 解：(I)f(x)=-x2+4ax-3a2=-(x-3a)(x-a) ∵0a1 令f(x)0,得f(x)的单调递增区间为(a,3a) 令f(x)0,得f(x)的单调递减区间为(一o,a) 和 ( 3a,+o) ∴当x=a时， 当 x=3a 时 ，f(x)概大值=b. (Ⅱ)由 |f(x)≤a, 得：对任意的x ∈[a+1,a+2],-a≤x2-4ax+3a2≤a 恒成立① 则等价于g(x)这个二次函数 g(x)=x2-4ax+3a2 的对称轴x=2a ∵0a1, a+1a+a=2a (放缩法) 即定义域在对称轴的右边， g(x) 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。 g(x)=x2-4ax+3a2 在[a+1,a+2] 上是增函数. ∴g(x)max=g(a+2)=-2a+1,g(x)mn =g(a+1)=-4a+4. 于是，对任意x ∈[a+1,a+2], 不等式①恒成立，等价于 解 1. 又Oa1.∴ . 点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系 第三种：构造函数求最值 题型特征： f(x)g(x) 恒成立?h(x)=f(x)-g(x)0 恒成立；从而转化为第一、二种题型 例3;已知函数f(x)=x3+ax2 图象上一点P(1,b)处的切线斜率为-3, (t0) (I) 求a,b的值； (Ⅱ) 当x∈[-1,4]时，求f (x)的值域； (Ⅲ)当x∈[1,4]时，不等式f(x)≤g(x)恒成立，求实数t的取值范围。 解：(I)f()=3t2+2ax∴ 解得 , ( Ⅱ ) 由(I) 知， f(x) 在[-1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减 又f(-1)=-4,f(0)=0,f(2)=-4,f(4)=16 ∴f(x) 的值域是[-4,16] x ∈[1,4] 思路1:要使f(x)≤g(x) 恒成立，只需h(x)≤0, 即t(x2-2x)≥2x-6 分离变量 思路2:二次函数区间最值 二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法1:转化为f(x)≥0 或f(x)≤0 在给定区间上恒成立，回归基础题型 解法2: 利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求 的增或减区间的子集； 做题时一定要看清楚“在 (m,n) 上是减函数”