2023-2024《微积分》(上)试卷解答.docVIP

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杭州商学院2023—2023学年《微积分》(上)试卷解答 一、填空题(每小题2分,共20分) 1、已知f(x) 的定义域为[1,4],则f(x+1)+f(3x)的定义域为 2、设 ,则其反函:∈[-π,π]. 3、 则f(f(O))=0 4、 5、要使函数 在x=0 处连续,须补充定义f(O)=1。 6、设f(+△r)-f(I)=3Ax-4(△r)2+5(△x),则fI)=3。 7、设 .则 8、f(x)=In(1+x2)在[0,1]上满意拉格朗日中值定理的点, 9、 曲线 的垂直渐近线是x=0,x=1。 10、 二、选择题(每小题2分,共10分) 1、若0, , k 为 常 数 , 则 必 有 ( ). (C) (D) 2、下列函数在(-1,1)内可微的有( )。 (B)y=x2sin2x (C)y=x2cotx (D)y=|x}+sinx 3、若y;(x)与y? (x)的弹性分别是a,b, 则y=y;(x)y? (x)弹性是( )。 (A)a+b (B)a-b (C)ab (D) 4、曲线(2,+o) 内 ( )。 (A) 下降下凹 (B) 上升上凹 (C) 下降上凹 (D) 上升下凹 5、设F(x)是f(x)的一个原函数,则下式中正确的是( )。 (A) (B) (C) (D) 三、计算题(每小题6分,共48分) 2、 3、设f(x)=xarctan x-In √ 1+x2,求f^1)。 解: :f(u)=acmx+1+-+J=acank 4、已知方程e2+e”=xy 确定了函数y=y(x), 求dy。 : ·5、设函数f 可微,且y=f(sin2x)+f(cos2x), 求y。 : · 解: y1=f(sin2x)·2sinxcosx-f(cos2x)·2cosxsin x =sin 2x(f(sin2x)-f(cos2x)) 6、?(tan2x+e*32dx。 解: 解: 8、?x2arcsin xdx。 解 四、应用题(每小题2分,共18分) 1、当某商品以每件500元价格出售x 件时,所获利润为 (元),求平均成本最小时的产量及利润。 ; · :●2、已知曲线y=ax2 与y=Inx 相切, · : ● 求:(1)常数a;(2) 切点处的切线方程; (3)该切线与两坐标轴所围图形的面积。 解:(1)(a2Y=2ax; ∵ax2 与lnx 相切,: ,上 , ,∴ (2) 切点处切线方程: (3)在切线方程中令 该切线与两坐标轴所围图形的面积: 五、证 明 题 ( 4 分 ) 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导, 试证:存在点ξ∈(a,b), 使得f(ξ)=f(a+b-ξ)。 证明:设F(x)=f(x)+f(a+b-x) ∵F(x)在闭区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且 F(a)=f(a)+f(a+b-a)=f(a)+f(b) F(b)=f(b)+f(a+b-b)=f(a)+f(b), 即F(a)=F(b) ∴F(x)在[a,b]上满意罗尔定理三条件,∴3点ξe(a,b),使得F(5)=0 即f(ξ)-f(a+b-ξ)=0→f(ξ)=f(a+b-ξ)

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