高考专题----------------放缩法.docx

实用标准文案 实用标准文案 文档大全 文档大全 高考专题—放缩法 高考专题—放缩法 缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。在证明过程中，适当 地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目 标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技 巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把 题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题 能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关 的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩， 二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例 1．正数数列?a n ?的前n 项的和S n ，满足2 ? a ? 1，试求： Sn S n 数列?a n ?的通项公式； 设b ? 1 ，数列?b ?的前n 项的和为 B ，求证： B ? 1 n a a n n n?1 n n 2 解 ：（ 1 ） 由 已 知 得 4S ? (a ? 1) 2 n n ， n ? 2 时 ， 4S ? (a ? 1) 2 n?1 n?1 ， 作 差 得 ： 4a ? a 2 n n 2a n a 2 n?1 2a  n?1 ，所以(a n a n?1 )(a n a n?1 ? 2) ? 0 ，又因为?a n ?为正数数 列，所以a n a n?1 ? 2 ，即?a n ?是公差为 2 的等差数列，由2 ? a ? 1，得a 1 1 ? 1 ，所 S1以 a ? 2n ? S 1 n 1 1 1 1 1 （2） b n ? a a n n?1 ? ? ( ? ) ，所以(2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 B ? 1 (1 ? 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ) ? 1 ? 1 ? 1 n 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2(2n ? 1) 2 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和， 则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这 里所谓的差比数列，即指数列{a } 满足条件a ? a ? f ?n?）求和或者利用分组、裂项、 n n?1 n 倒序相加等方法来求和． 二．先放缩再求和 放缩后成等差数列，再求和 例 2．已知各项均为正数的数列{a n } 的前n 项和为S n ,且a2 ? a n n ? 2S . n 求证： S ? n S a 2 ? a n 4  2 n?1 ；  S2Sn?1 S 2 S n?1 2 n2S1(2) 求证： ? n 2 S 1 ? ??? ? ? n 解：（1）在条件中，令 n ? 1，得 a 2 ? a 1 1 ? 2S 1 ? 2a ， a ?1 1 ? ? 0 ? a 1 ? 1 ，又由条件 a 2 ? a n n ? 2S n 有 a 2 n?1 a n?1 ? 2S  n?1 ，上述两式相减，注意到a  n?1 ? S n?1 S 得 n ?(a ? a )(a ? a ? 1) ? 0 a ? 0 ? a ? a ? 0 ∴ a ? a ? 1 ? n?1 n n?1 n n n?1 n n?1 n n(n ?1) 所以， a n ? 1 ? 1? (n ? 1) ? n ， S ? n 2 所以 S ? n(n ? 1) ? 1 ? n 2 ? (n ? 1) 2 ? a 2 a 2 n?1 nn 2 2 2 4 n n(n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n ? 1 2（2）因为n ? 2 ? n ? 1 ，所以 ? ? ，所以 S1S2Sn1? 22 S 1 S 2 S n 1? 2 2 ? ? ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 2 ? 32n(n ? 1)2222 2 ? 3 2 n(n ? 1) 2 2 2 2 1 2 n n(n ? 1) S SSS2222 2n22 2n?12?? ? ； ? S S S 2 2 2 2 2 n 2 2 2 n?1 2 ? 1 2 n ? ? ? ? ? ? 放缩后成等比数列，再求和 例 3．（1）设 a，n∈N*，a≥2，证明： a 2n ? (?a) n ? (