高考专题：参数法在解题中的应用-教师.资料.docx

参数法在解题中的应用 [方法精要] 在解数学题的过程中，往往会遇到一些不能直接求解或直接求解困难，或较烦琐的变数问题，这时往往要通过引入条件中原来没有的辅助变量(参数)，并以此作为媒介，使问 题转化从而解决问题，这种应用参数解决问题的方法称为参数法． 应用参数法的关键在于恰当的选取参数，只有参数引入恰当，问题才能迎刃而解，收到事半功倍的效果．使用参数法的原则是引进参数后，能使问题获解．其次还要考虑引进参数的合理性，除了要考虑条件和结论的特点外，还要注意某 些量的取值范围，任何变量都有取值范围，另外还要注意原问题并非关于参数的问题，参数并不是直接研究对象，它只是起“桥梁”和转化作用，所以当求得间接解后要倒回去确定原问题的解，这就可能要消去参数而用问题中原有的变数表示结果． 参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支．运用参数法解题已经比较普遍．参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题． 题型一 参数法在函数问题中的应用 例 1 定义在 R 上的增函数 y＝f(x)对任意 x，y∈R 都有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)． (1)求 f(0)； 求证：f(x)为奇函数； 若 f(k·3x)＋f(3x－9x－2)0 对任意 x∈R 恒成立，求实数 k 的取值范围． 破题切入点 (1)赋值法是解决抽象函数问题的常用方法，第(1)(2)两问可用赋值法解决． (2)将恒成立问题转化成函数最值问题． (1)解 令 x＝y＝0，得 f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即 f(0)＝0. (2)证明 令 y＝－x，得 f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，又 f(0)＝0，则有 0＝f(x)＋f(－x)， 即 f(－x)＝－f(x)对任意 x∈R 成立，所以 f(x)是奇函数． (3)解 方法一 因为 f(x)在 R 上是增函数，又由(2)知 f(x)是奇函数． f(k·3x)－f(3x－9x－2)＝f(－3x＋9x＋2)， 所 以 k·3x－3x＋9x＋2， 32x－(1＋k)·3x＋20 对任意 x∈R 成立． 令 t＝3x0，问题等价于 t2－(1＋k)t＋20 对任意 t0 恒成立． 1＋k 1＋k 令 f(t)＝t2－(1＋k)t＋2，其对称轴为 x＝ 2 ，当 2 0 即 k－1 时，f(0)＝20，符合题意； ??1＋k 1＋k ? 2 ≥0， 当 2 ≥0 即 k≥－1 时，对任意 t0，f(t)0 恒成立 ??Δ＝?1＋k?2－4×20， 解得－1≤k －1＋2 2.综上所述，当 k－1＋2 2时，f(k·3x)＋f(3x－9x－2)0 对任意 x∈R 恒成立． 方法二 由 k·3x－3x＋9x＋2，得 k3x＋ 2 －1. 3x u＝3x＋ 2 －1≥2 2－1,3x＝ 2时，取“＝”，即 u 的最小值为 2 2－1， 3x 3x要使对 x∈R，不等式 k3x＋ 2 －1 恒成立，只要使 k2 2－1. 3x 题型二 参数法在数列问题中的应用 例 2 设{a }是公差不为零的等差数列，S 为其前 n 项和，满足 a2＋a2＝a2＋a2，S ＝7. n n 2 3 4 5 7 求数列{a }的通项公式及前 n 项和 S ； n n a a 试求所有的正整数 m，使得 m a m＋1为数列{a }中的项． n m＋2 破题切入点 求特定量的取值，往往需要引入参数，根据题中的条件找出参数与所求量之间的数量关系，利用条件求参数的取值或取值范围，进而求出特定量． 解 (1)设公差为 d，则 a2－a2＝a2－a2，由性质得－3d(a ＋a )＝d(a ＋a )， 2 5 4 3 4 3 4 3 7×6 因为 d≠0，所以 a ＋a ＝0，即 2a ＋5d＝0，又由 S ＝7 得 7a ＋ d＝7， 4 3 1 7 1 2 1解得 a ＝－5，d＝2.所以{a }的通项公式为 a ＝2n－7，前 n 项和 S ＝n2－6n. 1 n n n a a ?2m－7??2m－5? (2)因为 a ＝2n－7，所以 m m＋1＝ ， an a m＋2 ?2m－3? a a ?t－4??t－2??8 设 2m－3＝t，则 m a m＋1＝ t ＝t＋ t －6， m＋2 所以 t 为 8 的约数．又因为 t 是奇数，所以 t 可取的值为±1， 当 t＝1 时，m＝2 8 6＝3,2×5－7＝3＝a 是数列{a }中的项； ，t＋ t － 5 n 当 t＝－1 时，m＝1 8 6＝－15， ，t＋ t － 数列{a }中的最小项是－5，故不是数列中的项．所以满足条件的正整数m 的值是 m＝2. n 题型三 参数法