13-自适应格型滤波器27页PPT.pptVIP

13_自适应格型滤波器;§3.3 自适应格型滤波器3.3.1 引言; 最优预测——选择预测误差的均方值最小作为最优预测的准则. 纯预测——由于实际信号总是带有噪声干扰的, 因此, 预测与滤波是 不可分的. 不考虑噪声干扰或不带滤波的预测, 称为纯预测. 2.前向和后向一步线性预测 利用线性滤波器实现预测, 称作线性预测. 如果在当前时刻 已经获得 个输入数据, 如图3.3.1所示:;● 阶前向一步线性预测 根据 时刻以前的 个数据 , 向前一步预测 , 称为 阶前向一步线性预测. ● 阶后向一步线性预测 根据 时刻以后的 个数据 , 向后一步预测 称为 阶后向一步线性预测.;3.3.2 前向和后向线性预测误差滤波器;或 (3.3.2b) 对上式进行Z变换, 得到 (3.3.3) 称为前向预测误差滤波器的系统函数, 其结构如图3.3.2所示. ;以上结果表明: 前向预测误差 , 是由数据 通过一个冲激 响应为 的预测误差滤波器 产生的输出. 下面采用最小均方误差准则求最佳预测系数 . 令 将式(3.3.2)代入上式, 得 (3.3.4) 上式表明: 前向预测误差与用于预测的数据是正交的, 这就是前向预 测误差的正交原理. ;将式(3.3.2a)代入上式, 得到 (3.3.5) 最小均方预测误差为 (3.3.6) 将式(3.3.5)和(3.3.6)联立,得到下面的联立方程组: (3.3.7);其中, (前向预测最小误差功率). 将上式表示为矩阵形 式: (3.3.8) 上式就是Yule-Walker方程. 该方程组有 个方程, 由此可解出 个未 知的最佳预测系数 和最小均方误差 . 与维纳-霍夫方程相比, 该方程只包含 的自相关函数, 不需要知道 与期望信号 的互相关函数. 2.后向线性预测误差滤波器 已知 ,向后一步预测 , 这时系统输 出的预测值 ,可表示为 以后的 个数据的线性组合: (3.3.9) ;式中, ——后向预测系数. 后向预测误差 (3.3.10) 对上式进行Z变换, 得到 (3.3.11) 称为后向预测误差滤波器的系统函数. 用 代替 , 后向预测误差[式(3.3.10)]???写成: (3.3.12);由上式可得后向预测误差滤波器的结构如图3.3.3所示. 以上结果表明: 后向预测误差 ,是由数据 通过一个冲激响应 为的预测误差滤波器 的输出. 利用最小均方误差准则, 同样可求得关于后向预测时的正交方程 Yule-Walker方程. 根据正交原理: (3.3.13) 将式(3.3.10)代入上式, 得; (3.3.14) 最小均方预测误差为 (3.3.15) 将式(3.3.14)与式(3.3.15)联立, 可得 ; (3.3.16) 式中, ——后向预测最小误差功率. 3.预测误差滤波器与AR模型 由 阶AR模型的差分方程: (3.3.17) 若令 , 则上式与前向预测误差方程一致. 下面根据AR模型推导Yule-Walker方程. 将式(3.3.17)展开: (3.3.18) 第1步: 上式两边乘以 , 然后取数学期望. ;注意到: 因此, 得到 第2步: 求 . 为此, 将式(3.3.17)两边乘以 , 并取数学期望, 得到 由于, , , 所以有; 第3步: 由以上两步得到下列方程组[利用 ]: 写成矩阵形式: (3.3.19) 上式就是AR(p)模型的Yule-Walker方程. 式中 , 可见该式与式 (3.3.8)一致. AR模型的系统函数为 (3.3.20) ;与前向预测误差滤波器的系统函数比较, 可得