高中数学-充分必要条件习题集锦.docx

例 1 已知 p：x ，x 是方程x2＋5x－6＝0 的两根，q：x ＋x ＝－5，则p 是q 的 1 2 1 2 [ ] A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 分析 利用韦达定理转换． 解 ∵x ，x 是方程x2＋5x－6＝0 的两根， 1 2 ∴x ，x 的值分别为 1，－6， 1 2 ） ∴x ＋x 1 2  ＝1－6＝－5． 因此选A． 说明：判断命题为假命题可以通过举反例． 例 2 p 是 q 的充要条件的是 [ ] A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b { C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．p：a≠0，q：关于x 的方程 ax＝1 有惟一解 分析 逐个验证命题是否等价． 对 B．p对 C．pq 但 qq 且 qp，p 是 q 的充分非必要条件；p， 对 B．p 对 C．p q 但 q q 且 q p，p 是 q 的充分非必要条件； p，p 是 q 的必要非充分条件； 对D．p ? q且q ? p，即p ? q，p是q的充要条件．选D． 说明：当a＝0 时，ax＝0 有无数个解． ! 例 3 若A 是B 成立的充分条件，D 是C 成立的必要条件，C 是B 成立的充要条件，则D 是 A 成立的 [ ] A．充分条件 B．必要条件 解 ∵A 是B 的充分条件，∴AB①C．充要条件 D．既不充分也不必要条件分析 通过 解 ∵A 是B 的充分条件，∴A B① ∵D 是C 成立的必要条件，∴CD②∵C ∵D 是C 成立的必要条件，∴C D② } 由①③得AC④由②④得AD．∴ 由①③得A C④ 由②④得A D． 说明：要注意利用推出符号的传递性． 例 4 设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的 [ ] A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 》 分析 先解不等式再判定． ∵0＜x＜5－1＜x＜5，但－1＜x ∵0＜x＜5 －1＜x＜5，但－1＜x＜5 0＜x＜5 ∴甲是乙的充分不必要条件，选A． 说明：一般情况下，如果条件甲为x∈A，条件乙为x∈B． 当且仅当A ? B时，甲为乙的充分条件； 当且仅当A ? B时，甲为乙的必要条件； 例 5 设 A 例 5 设 A、B、C 三个集合，为使A (B∪C)，条件 A B 是 ] [ ] 充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件分析 可以结合图形分析．请同学们自己画图． ∴A(B∪C)．显然 A(B∪C)，但 AB 不成立， ∴A (B∪C)． 显然 A (B∪C)，但 A B 不成立， 综上所述：“AB 综上所述：“A B” “A (B∪C)”，而 “A (B∪C)” “A B”． 即“AB”是“A(B∪ 即“A B”是“A (B∪C)”的充分条件(不必要)．选 A． (1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0； (2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|； (3)p：m＞0，q：方程 x2－x－m＝0 有实根； : (4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1． 其中 p 是 q 的充要条件的有 [ ] 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组 分析 使用方程理论和不等式性质． 解 (1)p 是 q 的必要条件 p 是q 充要条件 : p 是q 的充分条件 p 是q 的必要条件．选A． 说明：ab＝0 指其中至少有一个为零，而a2＋b2＝0 指两个都为零． ?x ?例7 ?x1 ? ＞3 ?x ?是? 1 ? ? x ＞6 2  的 条件． ＞3 x x ＞9 2 1 2 分析 将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系． 解 x ＞3且x 1 2 ＞3 ? x ＋x 1 2 ＞6且x x 1 2 ＞9，但当取x 1 ＝10，x 2 ＝2时， ?x ? x ? 1 2 ＞6 ?x ＞3 成立，而? 1 不成立(x ＝2与x ＞3矛盾)，所以填“充分不 ??x x ＞9 ? ? 1 2 必要”． x ＞3 2 2 2 ?x ?说明：?x1 ? ＞3 ?x ? ? 1 －3＞0 ?＞3 x －3＞0 ? 2 2 ?(x ? ? 1 －3)＋(x 2 －3)＞0 ? ?(x ? 1 －3)(x 2 －3)＞0 ?x ＋x ＞6 ? 1 2 这一等价变形方法有时会用得上． ?x x －3(x ＋x ? 1 2 1 2 )＋9＞0 ] 分析 ∵a≥b 分析 ∵a≥b c＞d(原命题)， ∴c≤d a＜b(逆否命题)． 例 8 已知真命题“a≥b c＞d”和“a＜b e≤f”，则“c≤d”是“e≤f”的 条 而 a＜be≤f 而 a＜