高中数学(理)空间向量知识点归纳总结及综合练习.docx

空间向量知识点归纳总结 知识要点。 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 空间向量的运算。 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， ? ? ? ? a 平行于b ，记作a // b 。 》 ? ? ? ? ? ? ? ? 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （ b ≠ 0 ）， a b a b 共面向量 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。 p ? xa ? yb 。） 共面向量定理：如果两个向量 a, b 不共线， p 与向量 a, b p ? xa ? yb 。 p ? xa ? yb ? zc 。空间向量基本定理：如果三个向量a, p ? xa ? yb ? zc 。 x, y, z ，使 若三向量a,b,c不共面，我们把{a, b , c} 叫做空间的一个基底， a, b , c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设 O, A, B, C 是不共面的四点，则对空间任一点 P ，都存在唯一的三个有序实数 x, y, z ，使 OP OP ? xOA ? yOB ? zOC 。 空间向量的直角坐标系： ~ 空间直角坐标系中的坐标： 空间向量的直角坐标运算律： ①若 a ? (a , a , a ) ， b ? (b ,b ,b ) ，则a ? b ? (a b , a b , a ? b ) ， 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 a ? b ? (a ? b , a ? b , a ? b ) ， ?a ? (?a , ?a , ?a )(? ? R) ， a ?b ? a b ? a b ? a b ， a // b a // b ? a ? 2 3 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 ?b , a ? ?b , a ? ?b (? ? R) ， a ? b ? a b ? a b ? a b ? 0 。 AB ? AB ? (x 2 3 3 1 1 2 2 3 3 ②若 A(x , y , z 1 1 1 ) ， B(x , y , z 2 2 2 ) ，则 x , y 2 1 2 y , z ? z ) 。 1 2 1 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 》 模长公式：若a ? (a , a , a ) ， b ? (b ,b ,b ) ， 1 2 3 1 2 3 则| a |? a ? a ? a 2 ? a 2 ? a 2 ， | b |? b ? b ? b 2 ? b 2 ? b 2 1 2 3  a ? b 1 2 3 a b ? a b ? a b 夹角公式： cos a ? b ? ? 1 1 2 2 3 3 。 | a | ? | b | a 2 ? a 2 ? a 2 b 2 ? b 2 ? b 2 两点间的距离公式：若 A(x , y , z 1 2 AB |? AB2 ? AB |? AB2 ? (x ? x )2 ? ( y ? y )2 ? (z ? z )2 2 1 2 1 2 1 3 1 2 3 , z ) ， 则| (x ? x (x ? x )2 ? ( y ? y )2 ? (z ? z )2 2 1 2 1 2 1 A,B 1 1 1 2 2 2 ， 空间向量的数量积。 @ 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a, b ，在空间任取一点O ，作OA ? a, OB ? b ，则?AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作? a, b ? ；且规定0 ?? a, b ?? ? ，显然有? a, b ??? b , a ? ；若? a, b ?? ? ， 2 则称 a 与b 互相垂直，记作： a ? b 。 向量的模：设OA ? a ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作： | a | 。 a ? b ? | a | ?| b | ?cos? a,b ?。）向量的数量积：已知向量 a, b ，则 | a | ? | b | ?cos a ? b ? | a | ?| b | ?cos? a,b ?。 空间向量数量积的性质： ① a ? e ?| a | cos ? a, e ? 。② a ? b ? a ? b ? 0 。③ | a |2? a ? a 。 空间向量数量积运算律： ① (?a