高中数学(人教A版选修1-2)典型例题：第一章 章末讲义.docx

数学·选修 1－2(人教 A 版) 回归方程及其应用 回归方程及其应用 对所抽取的样本数据进行分析，分析两个变量之间的关系——线性关系或非线性关系，并由一个变量的变化去推测另一个变量的变化， 这就是对样本进行回归分析． 单位 x/元日销售量y/台 某商场经营一批进价是 30 元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价 x(x 取整数)元与日销售量 y 单位 x/元 日销售量 y/台 35 40 45 50 56 41 28 11 画出散点图并说明 y 与x 是否具有线性相关关系？如果有，求出线性回归方程；(方程的斜率保留一个有效数字) 设经营此商品的日销售利润为 P 元，根据(1)写出 P 关于 x 的 函数关系式，并预测当销售单价 x 为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 分析：作出散点图，根据散点图观察是否具有线性相关关系． 解析：(1)散点图如图所示： 从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量具有线性相关关系． 即预测销售单价为 42 元时，能获得最大日销售利润． 点评：判断两个变量之间是否有线性相关关系一般有两种方法：一是计算样本相关系数；二是画散点图．两种方法要结合题目的要求合理选取，也可同时使用，则判断更加准确． 测得一个随机样本的数据如下表所示： x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 21 24 66 115 325 (1)作出x 与 y 的散点图，并猜测 x 与y 之间的关系； (2)建立x 与 y 的关系，并预报回归模型； (3)利用所得模型预报 x＝40 时y 的值． 解析：(1)x 与 y 的散点图如下图，由散点分布猜测样本数据分布在一条曲线的附近，这条曲线接近指数函数曲线 y＝c1ec x，其中c1， 2 c2 为常数． 对y＝c1ec x 两边取对数得 ln y＝ln c1＋c2x. 2 令A＝ln y，则 A＝bx＋a，其中a＝ln c1，b＝c2. xA211.946232.398253.045273.178 x A 21 1.94 6 23 2.39 8 25 3.04 5 27 3.17 8 29 4.19 0 32 4.74 5 35 5.78 4 可以求得回归直线方程为A^＝0.272x－3.849， 所以^y＝e0.272x－3.849. (3)当x＝40 时，y＝e0.272×40－3.849≈1 131. 点评：根据样本数据描出散点图，由散点图直观地观察散点分布符合的函数模型，再根据有关公式进行计算． 销售经验x/年年销售额y/ 销售经验x/年 年销售额 y/万元 1 3 4 4 6 8 10 10 11 13 80 97 92 102 103 111 119 123 117 136 ( 1 ) 依据这些数据，作直线 5,== 78 + 4. 2 飞，计 算f ( y; — y )2 ; 1=1 ( 2 ) 依据这些数据用最小二乘法求线性回归方 10 程，并 计算 2 ( y 厂 y )2 ; i.=1 10 ( 3 ) 比较( 1 ) 和( 2 ) 中的残差 平方 和 2 ( y1 — }飞 ）2 t=1 的 大小，由此 估 计 ： 一个有 5 年 销售经验的本公司员丁，他 的年销售额有多少万兀？ 分析：利用公式计算即可． 解析：(1)由直线^y＝78＋4.2x，得 y －^y i i 的值如下表： y －^y I －2.2 6.4 －2.8 7.2 －0.2 －0.6 －1 3 －7.2 3.4 i i f ( y.; — y ; ) 2 == 1 79 . 28 . l= 1 10 (2) ·: 了== 7 y == 1 08 , ( .T,— 五）2 == 1 42 , -i.= 1 f ( _Ti — 工）（ Y1 — y) == 568 , l= 1 .- ( 工 I ) (y ;— y) 5 6 8 f??·? lJ== f l= 1 (- t. i — _r)2 . l = 1 142 4, 比较可知，用最小二乘法求出的残差平方和小，所以用回归直线方程^y＝80＋4x 来拟合较好．当 x＝5 时，^y＝80＋4×5＝100(万元)． ∴一个有 5 年销售经验的本公司员工，他的年销售额约为 100 万元． 独立性检验及其应用点评：通过本题可以进一步了解回归直线方程的意义及残差的含义和残差平方和的意义． 独立性检验及其应用 在日常生活中，分类变量是大量存在的，例如吸烟与患肺癌等， 在实际问题中，我们常常关心两个变量之间是否有关系． 为观察药物 A、B 治疗某病的疗效，某医生将100 例该病病人随机地分成两组，一组 40 人，服用 A 药；另一组 60