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每一个人的成功之路或许都不尽相同,但我相信,成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗,而每
每一个人的成功之路或许都不尽相同,但我相信,成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗,而每
一条成功之路,都是充满坎坷的,只有那些坚信自己目标,不断努力、不断奋斗的人,才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信,那就是,当你能把自己感动得哭了的时候,你就成功了!
椭圆与双曲线中点弦斜率公式及其推论
圆锥曲线中点弦问题是问题在高考中的一个常见的考点.其解题方法一般是利用点差法和韦达定理,设而不求.但一般来说解题过程是相当繁琐的.若能巧妙地利用下面的定理则可以方便快捷地解决问题.
定理 1(椭圆中点弦的斜率公式):设M (x , y
0 0
) 为椭圆
x2 ? y2 a2 b2
? 1弦 AB( AB 不
平行 y
轴)的中点,则有: k ? k
AB OM
? ? b2
a2
证明:设 A(x , y
1 1
) , B(x , y
2 2
) ,则有
? x2 y2
? 1 ? 1 ? 1
?yk ? 1 ? y2
?
y
, ? a2 b2
两式相减
AB x ? x ? x2 y2
1 2 ? 2 ?
2 ? 1
? a2 b2
x2 ? x2 y2 ? y2
得: 1 2 ? 1
2 ? 0 整理得:
a2 b2
y2 ? y2 b2
1 2 ? ? ,即
yAMFB1F2xO
y
A
M
F
B
1
F
2
x
O
21 2
2
( y ? y
1 2
)( y
1
? y ) ? ? b2
,因为M (x , y
) 是弦 AB 的中点,所以
(x ? x
1 2
)(x
1
? x ) a2 0 0
2
?0k ? y0 2x
?
0
OM x 2 y
? 1 ? y2 x ? x
,所以k ? k
AB OM
? ? b2
a2
y0 0 1 2
y
定理 2(双曲线中点弦的斜率公式):设M (x , y
0 0
) 为双曲线 x2 ? y2
a2 b2
? 1 弦 AB
( AB 不平行 y 轴)的中点,则有k ? k
AB OM
? b2
a2
? x2 y2
y? 1 ? 1 ? 1
y
?证明: 设 A(x , y ) , B(x , y
?
) ,则有k
? 1 ? y2
, ? a2 b2
两式相减得:
1 1 2 2
AB x ? x ? x2 y2
1 2 ? 2 ?
2 ? 1
? a2 b2
x2 ? x2
y2 ? y2
y2 ? y2 b2
( y ? y
)( y
y ) b2
1 2 ? 1
2 ? 0 整理得: 1 2 ? ,即 1
2 1 2 ? ,因为
a2 b2
x2 ? x2 a2
(x ? x )(x ? x ) a2
1 2
y 2x
1 2 1 2
y ? y b2
M (x , y
0 0
) 是弦 AB 的中点,所以k
OM
? 0 ? 0
x 2 y
? 1 ? x2
,所以k ? k ?
AB OM a2
x0 0 1 2
x
例 1、已知椭圆
x2 ? y2 a2 b2
? 1,的一条弦所在的直线方程是 x ? y ? 3 ? 0 ,弦的中
点坐标是 M(? 2,1),则椭圆的离心率是( )
235A、 1 B、 C、 D、
2
3
5
2 2 2 5
分析:本题中弦的斜率 k
? 1 且k ? ? 1 ,根据定理有 b2 ?
1 ,即
AB OM 2
a2 2
2a2 ? c2 1
2
? 1? e2 ? ,解得e ?
,所以 B 答案正确.
a2 2 2
例 2、过椭圆 x2 ? y2 ? 1内的一点 M (2,1) 引一条弦,使弦被M 点平分,求这条
16 4
弦所在的直线方程.
解:设弦所在的直线为 AB ,根据椭圆中点弦的斜率公式知k ? k
AB OM
? ? 1 ,显
4
然k ?
OM
,所以k
AB
? ? 1 ,故所求的直线方程为 y ?1 ? ? 1 (x ? 2) ,即
2 2
x ? 2 y ? 4 ? 0 .
例 3、过椭圆 x2 ? y2 ? 1 上的一点 P(?8,0) 作直线交椭圆于Q 点,求 PQ 中点的
64 36
轨迹方程.
解:设 PQ 的中点为M (x, y) ,则k
OM
? y , k
x PQ
? y
x ? 8
,由椭圆中点弦的的斜
y y 9 9率公式得 ? ? ? ,即所求的轨迹方程为 y2 ? ? x(x ? 8) x ? 8 x 16 16
y y 9 9
例 4、已知椭圆
x2 ? y2 a2 b2
? 1(a ? b ? 0) , A 、 B 是
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