高中数学椭圆知识点小结.docx

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高中数学 高中数学 高二数学椭圆知识点 1、椭圆的第一定义:平面内一个动点 P 到两个定点 F 、 F 1 2 的距离之和等于常数 ( PF ? PF ? 2a ? F F ) ,这个动点 P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭 1 2 1 2 圆的焦距. 注意:若( PF PF ? F F ) ,则动点 P 的轨迹为线段 F F ;若( PF PF ? F F ) ,则动点 P 的轨 1 2 1 2 迹无图形. 1 2 1 2 1 2 2、椭圆的标准方程 1).当焦点在 x 轴上时,椭圆的标准方程: x 2 ? y 2  ? 1 (a ? b ? 0) ,其中c 2  ? a 2  ? b 2 ; a 2 b 2 2).当焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方程: y 2 ? x 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其中c 2 ? a 2 ? b 2 ; a 2 b 2 顶点:①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆 x 2 ? y 2 a 2 b 2 ? 1 (a ? b ? 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为A 1 (?a,0) , A 2 (a,0) , B (0,?b) ,B 1 2 (0, b) 。 ③线段 A A 1 2 ,B B 1 2 分别叫做椭圆的长轴和短轴, A A 1 2 ? 2a , B B 1 2 ? 2b 。 a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 离心率:①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e 表示,记作e ? 2c ? c 。②因为 2a a (a ? c ? 0) ,所以e 的取值范围是(0 ? e ? 1) 。e 越接近 1,则c 就越接近a ,从而b ? a2 ? c2 越小, 因此椭圆越扁;反之, e 越接近于 0, c 就越接近 0,从而b 越接近于a ,这时椭圆就越接近于圆。 当且 仅当a ? b 时, c ? 0 ,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为x2 y 2 ? a 。 x 2 注意: 椭圆 a 2 y 2 b 2 ? 1的图像中线段的几何特征(如下图): 3、 3、椭圆: x 2 a 2 b 2 y 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的简单几何性质 (1)对称性:对于椭圆标准方程 x 2 y 2 a 2 b 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) :是以 x 轴、y 轴 为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对 称中心称为椭圆的中心。 (2)范围:椭圆上所有的点都位于直线x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩形内, 所以椭圆上点的坐标满足 x ? a , y ? b 。 ( PF ? PF ? 2a) 1 2 PF 1 PM 1 ? PF 2 PM 2 ? e ; ( PM 1 PM ? 2a 2 ) ; 2 c 4、椭圆的令一个定义: 到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形。即上图中有 PF1PM1PF2PM2? PF 1 PM 1 PF 2 PM 2 标准方程?a 2 b 2 标准方程 ? a 2 b 2 x 2 y 2 ? 1 (a ? b ? 0) y 2 a 2 ? x 2 b 2 ? 1 (a ? b ? 0) 图形 焦点 F (?c,0) , F (c,0) 1 2 F (0,?c) , F (0, c) 1 2 焦距 F F ? 2c 1 2 F F ? 2c 1 2 范围 x ? a , y ? b x ? b , y ? a 对称性 关于 x 轴、 y 轴和原点对称 性质 顶点 (?a,0) , (0,?b) (0,?a) , (?b,0) 轴长 离心率 长轴长= 2a ,短轴长= 2b e ? c (0 ? e ? 1) a 准线方程 焦半径 x ? ? a2 c PF ? a ? ex , PF ? a ? ex 1 0 2 0 y ? ? a2 c PF ? a ? ey , PF ? a ? ey 1 0 2 0 a 2 y 2 b 2 ? 1 与 y 2 ? x 2 a 2 b 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的区别和联系

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