平行四边形的性质与判定.pptVIP

MING XIAO KE TANG MING XIAO KE TANG MING XIAO KE TANG MING XIAO KE TANG MING XIAO KE TANG MING XIAO KE TANG MING XIAO KE TANG MING XIAO KE TANG MING XIAO KE TANG MING XIAO KE TANG MING XIAO KE TANG 例1：（2014?江岸区模拟）已知：如图，在?ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形． 【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L7：平行四边形的判定与性质． 【分析】先连接BD，交AC于O，由于四边形ABCD是平行四边形，易知OB＝OD，OA＝OC，而AE＝CF，根据等式性质易得OE＝OF，再根据两组对角线互相平分的四边形是平行四边形可证之． 【解答】证明：连接BD，交AC于O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC， ∵AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF， ∴OE＝OF， ∴四边形BFDE是平行四边形． 变式：（2018春?宛城区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD、CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：四边形AECF为平行四边形． 【分析】由已知条件得到AE∥CF，∠1＝∠2＝90°，根据线段的和差得到BE＝DF，根据全等三角形的性质得到AE＝CF，由平行四边形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF，∠1＝∠2＝90°， ∵BF＝DE， ∴BF﹣EF＝DE﹣EF， 即：BE＝DF， 在Rt△ABE和Rt△CDF中，， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）， ∴AE＝CF， ∵AE∥CF， ∴四边形AECF为平行四边形． 例2 :已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E， （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明． 【考点】KF：角平分线的性质；KH：等腰三角形的性质；LC：矩形的判定；LF：正方形的判定． 【分析】（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE＝90°，可以证明四边形ADCE为矩形． （2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD＝BC，由已知可得，DC＝BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形． 【解答】（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线， ∴∠MAE＝∠CAE， ∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝180°＝90°， 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠CEA＝90°， ∴四边形ADCE为矩形． （2）当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形． 理由：∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠B＝45°， ∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝∠ACD＝45°， ∴DC＝AD， ∵四边形ADCE为矩形， ∴矩形ADCE是正方形． ∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形． 拓展延伸 （2013?昭通）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN． （1）求证：四边形AMDN是平行四边形； （2）填空：①当AM的值为　　时，四边形AMDN是矩形； ②当AM的值为　　时，四边形AMDN是菱形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴ND∥AM， ∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME， 又∵点E是AD边的中点， ∴DE＝AE， ∴△NDE≌△MAE， ∴ND＝MA， ∴四边形AMDN是平行四边形； （2）②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下： ∵AM＝2， ∴AM＝AD＝2， ∴△AMD是等边三角形， ∴AM＝DM， ∴平行四边形AMDN是菱形， 故答案为：2． （2）解：①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝2． ∵AM＝AD＝1， ∴∠ADM＝30° ∵∠DAM＝60°， ∴∠AMD＝90°， ∴平行四边形AMDN是矩形； 故答案为：1； 课堂小结 当堂检测 如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB＝10cm、AD＝8cm、DE＝6cm． （1）求证：平行四边形ABCD是矩形； （2）如图，以