高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章.docx

§3.1 导数的概念及运算 函数 y＝f(x)从 x 到 x 的平均变化率 0 1 .Δy f?x ?－f?x ? f?x ＋Δx?－f?x ? . ＝Δx＝ ＝ 1 0 0 0 x －x Δx 1 0 函数 y＝f(x)在 x＝x 处的导数 0 定义 Δ当 x 趋于 x ，即 x 趋于 0 时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函 Δ 1 0 数 y＝f(x)在 x 点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在 x 点的导数， 0 0 f?x ?－f?x ? f?x ＋Δx?－f?x ? 通常用符号 f′(x )表示，记作 f′(x )＝ lim 1 0 ＝lim 0 0 . 0 0 x →x x －x Δx→0 Δx 几何意义 1 0 1 0 函数 f(x)在点 x 处的导数 f′(x )的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x ，f(x ))处的切线的斜 0 0 0 0 率．相应地，切线方程为 y－f(x )＝f′(x )(x－x )． 0 0 0 函数 f(x)的导函数 如果一个函数 f(x)在区间(a，b)上的每一点 x 处都有导数，导数值记为 f′(x)：f′(x)＝ lim Δx→0 f?x＋Δx?－f?x? Δx ，则 f′(x)是关于 x 的函数，称f′(x)为 f(x)的导函数，通常也简称为导数． 基本初等函数的导数公式 函数 函数 导函数 f(x)＝c (c 为常数) f(x)＝xα (α 为实数) f(x)＝sin x f′(x)＝ 0 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝cos_x f f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝tan x f′(x)＝ 1 cos2x f(x)＝cot x f′(x)＝－ 1 sin2x f(x)＝ax (a0) f(x)＝ex f′(x)＝axln_a f′(x)＝ex f(x)＝log x (a0，且 a≠1) a f′(x)＝ 1 xln a f(x)＝ln x f′(x) ＝x 1 导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ? f?x?? f′?x?g?x?－f?x?g′?x? (3)?g?x??′＝ [g?x?]2 (g(x)≠0)． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x )与(f(x ))′表示的意义相同．( × ) 0 0 求 f′(x )时，可先求 f(x )再求 f′(x )．( × ) 0 0 0 曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) 与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (5)若 f(x)＝a3＋2ax－x2，则 f′(x)＝3a2＋2x.( × ) x＝(6)函数 f(x)＝x2ln x 的导函数为 f′(x)＝2x· x＝ 2.( × ) 2．(2013·江西)设函数 f(x)在(0，＋∞)内可导，且 f(ex)＝x＋ex，则 f′(1)＝ . 答案 2 解析 设 ex＝t，则 x＝ln t(t0)，∴f(t)＝ln t＋t t∴f′(t)＝1＋1，∴f′(1)＝2. t 已知曲线 y＝x3 在点(a，b)处的切线与直线 x＋3y＋1＝0 垂直，则 a 的值是( ) A．－1 B．±1 C．1 D．±3 答案 B 解析 由 y＝x3 知 y′＝3x2， ∴切线斜率 k＝y′| ＝ ＝3a2. x a 又切线与直线 x＋3y＋1＝0 垂直， ∴3a2·(－1 ＝－1， 3) ∴即 a2＝1，a＝±1，故选B. 如图所示为函数 y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图像，那么 y＝f(x)，y＝g(x)的图像可能是( ) 答案 D 解析 由 y＝f′(x)的图像知 y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减， 说明函数 y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C. 又由图像知 y＝f′(x)与 y＝g′(x)的图像在 x＝x 处相交， 0 说明 y＝f(x)与 y＝g(x)的图像在 x＝x 处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D. 0 已知点 P 在曲线 y＝ ． 3 答案 [4π，π) 4 上，α 为曲线在点 处的切线的倾斜角，则 α 的取值范围是 Pex＋1 P 解析 ∵y＝ 4 ， ex＋1 －4ex －4ex －4 ∴y′＝ ＋1? ＝ 2 ＋2e ＋ ＝ 1 . ex＋2?ex ex ＋2 2 e x x 1 ＋ ex ex∵ex0，∴ex＋ 1 ≥2， ex ∴y′∈[－1,0)，∴tan α∈[－1,0)． 又 α∈[0，π)，∴α∈[3π，π)． 4 题型一 利用定义求函