考研数学一(高等数学)模拟试卷273(题后含答案及解析).doc

考研数学一（高等数学）模拟试卷273 (题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1． 设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+｜sinx｜)，若使F(x)在x=0处可导，则必有 ( ) A．f(0)=0 B．f’(0)=0 C．f(0)+f’(0)=0 D．f(0)－f’(0)=0 正确答案：A 解析：由于=f+’ (0)+f(0)．同理，=f－’(0)－f(0)．要求F+’(0)=F－’(0)，可得A． 知识模块：一元函数微分学 2． 设f(x)在[a，b]上可导，f’(a)f’(b)＜0．下述命题：①至少存在一点x0∈(a，b)使f(x0)＞f(a)；②至少存在一点x0∈(a，b)使f(x0)＞f(x)；③至少存在一点x0∈(a，b)使f(x0)=0；④至少存在一点x0∈(a，b)使f(x0)=[f(a)+f(b)]．正确的个数为 ( A．1 B．2 C．3 D．4 正确答案：A 解析：只有③是正确的．其证明如下：设f’(a)＜0，f’(b)＞0．由以及保号性，则存在点x1∈(a，b)使f(x1)－f(a)＜0及x2∈(a，b)使f(x2)－f(b)＜0．因此f(a)与f(b)都不是f(x)在[a，b]上的最小值，从而f(x)在[a，b]上的最小值必在(a，b)内部，故知存在x0∈(a，b)使f’(x0)=0．若f’(a)＞0，f’(b)＜0，其证明类似． ①，②与④的反例：f(x)=x2－x，当x∈[0，1]时，有f’(0)=－1，f’(1)=1，f’(0)f’(1)＜0．但当x∈(0，1)时，f(x)＜f(0)=f(1)=0． 知识模块：一元函数微分学 3． 积分( ) A． B． C． D． 正确答案：B 解析： 知识模块：一元函数积分学 4． 设Ω为x2+y2+z2≤1，则三重积分等于 ( ) A．0 B．π C． D．2π 正确答案：A 解析：积分区域Ω关于xOy面对称，被积函数关于变量z为奇函数，故I=0． 知识模块：多元函数积分学 填空题 5． 给出以下5个函数：100x，log10x100，e10x，x1010，，则对充分大的一切x，其中最大的是______． 正确答案： 解析：100x=exln100，log10x100=100logl10x．当x充分大时，有重要关系：eαx》eβ》lnγx，其中α，β，γ＞0，故本题填． 知识模块：函数、极限、连续 6． 若是(－∞，+∞)上的连续函数，则a=______． 正确答案：1 解析：f(x)在x=0处连续，可得 知识模块：函数、极限、连续 7． 设曲线y=(ax3+bx2+cx+d经过(－2，44)，x=－2为驻点，(1，一10)为拐点，则a，b，c，d分别为______． 正确答案：1；－3；－24；1 6 解析：由条件解方程可得a=1，b=－3，c=－24，d=16． 知识模块：一元函数微分学 8． ∫(arcsinx)2dx=______． 正确答案：其中C为任意常数 解析： 知识模块：一元函数积分学 9． ∫x3ex2dx=_____． 正确答案：e∫x∫1ee(x∫1e－1)+C，其中C为任意常数 解析：原式=∫x2ex2d(x2)=∫x2dex2=[x2ex2－∫ex2d(x2)]=(x2ex2－ex2)+C =ex2(x2－1)+ C． 知识模块：一元函数积分学 10． 点(1，2，3)到直线的距离为______． 正确答案： 解析：记点M0(1，2，3)，M(0，4，3)，方向向量S=(1，－3，－2)， 知识模块：向量代数与空间解析几何 11． 函数的定义域为______． 正确答案： 解析：由z≠0及可得． 知识模块：多元函数微分学 12． 若f(x，y)为关于x的奇函数，且积分区域D关于Y轴对称，则当f(x，y)在D上连续时，必有f(x，y)dxdy=______． 正确答案：0 解析：若连续函数z=f(x，y)关于x为奇函数，即f(－x，y)=－f(x，y)；若关于x为偶函数，即f(－x，y)=f(x，y)．设积分区域D关于y轴对称，D1表示D的位于y轴右方的部分．则有同理当z=f(x，y)关于y为奇函数或偶函数，积分区域D关于x轴对称时也有类似的结论． 知识模块：多元函数积分学 13． 曲面积分x3dxdy=______，其中S为球面x2+y2+z2=1的外侧． 正确答案： 解析：原式==3∫02πdθ∫0πdφ∫01ρ2cos2φρ2sinφdρ=3∫02πdθ∫0πcos2φsinφdφ∫01ρ4d 知识模块：多元函数积分学 14． 设的敛散性为______． 正确