高中数学复数讲义.教师版.docx

复数 复数 知识内容 一、复数的概念 虚数单位 i: 它的平方等于?1 ，即i2 ? ?1 ； 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律 仍然成立． （3）i 与－1 的关系: i 就是?1的一个平方根，即方程 x2 ? ?1 的一个根，方程 x2 ? ?1 的另一个根是-i． （4）i 的周期性： i4n?1 ? i ， i4n?2 ? ?1， i4n?3 ? ?i ， i4n ? 1 ． ?实数a(b ? 0) ?数系的扩充：复数 a ? bi? ?纯虚数bi(a ? 0) ? ?虚数a ? bi(b ? 0) ? ? 复数的定义： ?非纯虚数a ? bi(a ? 0) 形如 a ? bi(a ，b? R) 的数叫复数， a 叫复数的实部， b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 复数的代数形式: 通常用字母 z 表示，即z ? a ? bi(a ，b ? R) ，把复数表示成a ? bi 的形式，叫做复数的代数形式． 复数与实数、虚数、纯虚数及0 的关系： 对于复数a ? bi(a ，b ? R) ，当且仅当b ? 0 时，复数a ? bi(a ，b ? R) 是实数a ；当 b ? 0 时，复数 z ? a ? bi 叫做虚数；当 a ? 0 且b ? 0 时， z ? bi 叫做纯虚数；当且仅当a ? b ? 0 时， z 就是实数0 复数集与其它数集之间的关系： N 苘Z Q 苘R C 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ， a ，b，d ， c ， d ? R ，那么a ? bi ? c ? di ? a ? c ， b ? d 二、复数的几何意义 1．复平面、实轴、虚轴： 复数 z ? a ? bi( a，b? R) 与有序实数对?a ，b?是一一对应关系．建立一一对应的关系．点 Z 的横坐标是 a ，纵坐标是 b ，复数 z ? a ? bi( a，b?R ) 可用点Z ?a，b?表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数． 2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为?0 ，0?，它所确定的复数是 z ? 0 ? 0i ? 0 表示是实数． 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 复数 复数 z ? a ? bi ?一?一?对??应 复平面内的点 Z (a ，b) 这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表 示方法． 三、复数的四则运算 复数 z 与 z 1 2 复数 z 与 z 1 2 的和的定义： 的差的定义： 复数的加法运算满足交换律: z ? z 1 2 ? z ? z 2 1 复数的加法运算满足结合律: (z 1 z ) ? z 2 3 ? z ? (z 1 2 z ) 3 乘法运算规则： 设 z ? a ? bi ， z 1 2 ? c ? di ( a 、b 、c 、d ? R )是任意两个复数， 那么它们的积 z z 1 2 ? ?a ? bi??c ? di?? ?ac ? bd ?? ?bc ? ad ?i 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2 换 成?1，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 乘法运算律： z 1 ?z z 2 3 ?? ?z z ?z 1 2 3 (z 1 z ) ? z 2 3 ? z ? (z 1 2 z ) 3 z ?z 1 2 z ?? z z 3 1 2 z z 1 3 复数除法定义： 满足?c ? di??x ? yi?? ?a ? bi?的复数 x ? yi ( x 、y ? R )叫复数a ? bi 除以复数c ? di 的商，记为： (a ? bi) ? ?c ? di?或者 a ? bi c ? di 除法运算规则： 设复数a ? bi ( a 、b ? R )，除以c ? di ( c ，d ? R )，其商为 x ? yi（ x 、y ? R )， 即(a ? bi) ? ?c ? di?? x ? yi ∵ ?x ? yi??c ? di?? ?cx ? dy ?? ?dx ? cy?i ∴?cx ? dy?? ?dx ? cy?i ? a ? bi 由复数相等定义可知?cx ? dy ? a ?x ? 解这个方程组，得? ac ? bd c2 ? d 2 ? ?? ??dx ? cy ? ? ?? ? y ? ， bc ? ad c2 ? d 2 于是有: (a ? bi) ??c ? di? ? ac ? bd c2 ?