高中数学椭圆讲义及例题.docx

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是 充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！ 7.椭圆 1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点F 、F  的距离之和等于 1 2 常数( PF PF ? 2a ? F F ) ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的 1 2 1 2 焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。. 注意：若( PF PF ? F F ) ，则动点P 的轨迹为线段F F ；若( PF PF ? F F ) ， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 则动点P 的轨迹无图形. 2、椭圆的标准方程 1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：x 2 ? y 2 ? 1 (a ? b ? 0) ，其中 c 2 ? a 2 ? b 2 ； a 2 b 2 2）．当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程：y 2 ? x 2 ? 1 (a ? b ? 0) ，其中 c 2 ? a 2 ? b 2 ； a 2 b 2 注意：①在两种标准方程中，总有 a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示： x2 ? y2 ? 1 或者 mx2+ny2=1 。 3、椭圆： x 3、椭圆： x 2 a 2 b 2 y 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程 x 2 以x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围：椭圆上所有的点都位于直线x ? ?a 和 y ? ?b 所 a 2 b 2 y 2 ? 1 (a ? b ? 0) ：是 围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 x ? a ，y ? b 。 顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆 x 2 a 2 ? y 2 ? 1 b 2 (a ? b ? 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 A 1 (?a,0) ，A 2 (a,0) ， B (0,?b) ， B 1 2 (0, b) 。 ③线段 A A 1 2 ， B B 1 2 分别叫做椭圆的长轴和短轴， A A 1 2 ? 2a , B B ? 2b 。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 1 2 离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记 作e ? 2c ? c 。②因为(a ? c ? 0) ，所以e 的取值范围是(0 ? e ? 1) 。e 越接近 1，则c 就 2a a 越接近a ，从而b ? a2 ? c2 越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于 0， c 就越接近 0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当a ? b 时，c ? 0 ，这 时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2 ? y 2 ? a 。 注意：椭圆 x 2 ? y 2 a 2 b 2 ? 1的图像中线段的几何特征（如下图）： 假设已知椭圆方程 x 2 ? y 2 a 2 b 2 ? 1（ a ? 0,b ? 0 ），且已知椭圆的准线方程为x ? ? a2 ， 试推导出下列式子：（提示：用三角函数假设 P 点的坐标PF 试推导出下列式子：（提示：用三角函数假 设 P 点的坐标 PF PM 1 ? PF PM 2 ? e 1 2 4、椭圆的另一个定义：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所 PF1PM1PF2PM2 PF 1 PM 1 PF 2 PM 2 5、椭圆 x 2 ? a 2 y 2 ? 1 与 b 2 y 2 ? a 2 x 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的区别和联系 b 2 标准方程 标准方程 x 2 ? y 2 a 2 b 2 ? 1 (a ? b ? 0) y 2 ? x 2 a 2 b 2 ? 1 (a ? b ? 0) 图形 焦点 焦 距范 围对称性 性质 顶点 轴长 离心率 F (?c,0) ， F (c,0) 1 2 F F ? 2c 1 2 F (0,?c) ， F (0, c) 1 2 F F ? 2c x ? a ， y ? b 1 2 x ? b ， y ? a 关于x 轴、 y 轴和原点对称 (?a,0) ，(0,?b) (0,?a) ，(?b,0) 长轴长= 2a ，短轴长= 2b e ? c (0 ? e ? 1) a 准线方程 焦半径