高中数学椭圆中的常见最值问题.docx

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路， 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路， 都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！ 椭圆中的常见最值问题 1、椭圆上的点 P 到二焦点的距离之积| PF 1 || PF 2 |取得最大值的点是椭圆 短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。 例 1、椭圆 x 2 ? y 2 ? 1上一点到它的二焦点的距离之积为 m ，则m 取得的 25 9 最大值时，P 点的坐标是 。P（0，3）或（0，-3） 例 2、已知椭圆方程 x 2 ? a 2 y 2 ? 1（ a ? b ? 0, a 2 ? b 2 ? c 2 ）p 为椭圆上一点，F , F b 2 1 2 是椭圆的二焦点，求| PF 1 || PF 2 |的取值范围。 分析：| PF 1 || PF 2 |? (a ? ex)(a ? ex) ? a 2 ? e 2 x 2 ，(| x |? a) 当 x ? ?a 时，| PF 1 || PF 2 | min = a 2 ? c 2 ? b 2 ，当x ? 0 时，| PF 1 || PF 2 | max ? a 2 即b2 ? | PF 1 || PF 2 | ? a 2 2、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或 最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点 ,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。 例 3、已知 A(1,1) ， F 、F 是椭圆 x 2 y 2 ? 1的左右焦点，P 为椭圆上一动 1 2 9 5 点，则| PA | ? | PF 2 |的最大值是 ，此时P 点坐标为 。| PA | ? | PF | 2 的最小值是 ，此时P 点坐标为 。 3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最 小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点。 例 4、已知 A(1,1) ， F 是椭圆 x 2 ? y 2 ? 1的左焦点，P 为椭圆上一动点，则 1 9 5 | PA | ? | PF 1 |的最小值是 ，此时P 点坐标为 。| PA | ? | PF 1 |的最大 值是 ，此时 P 点坐标为 。 分析：| PA | ? | PF 1 |?| PF 2 | ? | PF 1 | ? | AF 2 | ，当 P 是 AF 2 的延长线与椭圆的交 点时取等号。| PA | ? | PF 1 |?| PF 2 | ? | PF 1 | ? | AF 2 | ，当 P 是 AF 2 的反向延长线与椭 圆的交点时取等号。 4、椭圆上的点 P 到定点 A 的距离与它到椭圆的一个焦点 F 的距离的1 倍 e 的和| PA | ? 1 | PF | 的最小值（ e 为椭圆的离心率），可通过| PF | ? e 转化为| PA | ?d e d （ d 为 P 到相应准线的距离）最小值，取得最小值的点是 A 到准线的垂线与椭圆的交点。 例 5、已知定点 A(?2,3) ，点F 为椭圆 x 2 ? y 2 ? 1的右焦点，点M 在该椭圆 16 12 上移动，求| AM | ?2 | MF | 的最小值，并求此时M 点的坐标。 例 6、已知点椭圆 x 2 y 2 ? 1及点 A(2,2), B(?3,0) ，P(x, y) 为椭圆上一个动点， 25 9 则3 | PA | ?5 | PB | 的最小值是 。 5、以过椭圆中心的弦的端点及椭圆的某一焦点构成面积最大的三角形是 短轴的端点与该焦点构成的三角形。 例 7、过椭圆 x 2 ? y 2 ? 1（ a ? b ? 0, a 2 ? b 2 ? c 2 ）的中心的直线交椭圆于 A, B a 2 b 2 两点，右焦点F 2 (c,0) ，则?ABF 2 的最大面积是 。 例 8、已知F 是椭圆9x 2 ? 25 y 2 ? 225 的一个焦点，PQ 是过原点的一条弦， 求?PQF 面积的最大值。 6、椭圆上的点与椭圆二焦点为顶点的面积最大的三角形是椭圆的短轴的 一个端点与椭圆二焦点为顶点的三角形。 例 9 、P 为椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 （ a ? b ? 0, a 2 ? b 2 ? c 2 ）一点，左、右焦点为 F (?c,0) F a 2 (c,0) ，则?PF F b 2 的最大面积是 。 1 2 1